Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная с Ньютона и Лейбница операция дифференцирования стала рассматриваться как первичная операция анализа (а затем и теории функций), а интегрирование выступало как ее обращение. Связь между этими инфинитезимальными операциями явилась одним из наиболее плодотворных факторов в разработке анализа и его приложений. Введение интеграла Римана разрушило эту связь, и сложилось почти нетерпимое положение после того, как Вольтерра в 1881 г. построил пример ограниченной производной, неинтегрируемой по Риману: интегрирование не восстанавливало примитивную функцию по ее заведомо существующей и относительно простой производной. Естественно, возникла проблема обобщения понятия интеграла.
К такому обобщению необходимо приводили и исследования Бэра по разрывным функциям. Действительно, Бэр дал структурную характеристику функций первого класса. К этим функциям принадлежат, в частности, все производные. Но не все (даже ограниченные) производные интегрируемы по Риману, о чем свидетельствовал тот же пример Вольтерры. Существо-
Мы указали лишь страницы, на которых речь идет непосредственно о трудах французских ученых, относящихся к рассматриваемому нами периоду.
64
вали неинтегрируемые функции и второго класса, например функция Дирихле. С введением разрывных функций высших классов запас подобных функций заведомо расширялся.
Наконец, необходимость в обобщении понятия интеграла диктовалась и такими традиционными задачами анализа, как вычисление длин кривых и площадей поверхностей, о чем уже говорилось (с. 41).
Так что потребность в новой концепции интегрирования определенно существовала и необходимо было удовлетворить ее. Вместе с тем появились и условия, способствовавшие ее созданию. Действительно, Жордан в 1892 г. прочно связал понятия меры точечного множества и интеграла Римана. Однако использованное им мероопределение было довольно ограниченным вследствие положенной в его основу конечной аддитивности меры. Между тем широкое распространение теоретико-множественных представлений, в частности многообразных счетных процессов, подсказывало возможность обобщения понятия меры точечного множества за счет введения в его определение счетной аддитивности. Это, как мы знаем, сделал в 1898 г. Борель, не воспользовавшись, однако, своим мероопределением для обобщения понятия интеграла. Теперь достаточно было соединить подход Жордана к мере и интегралу с борелевской идеей счетной аддитивности меры, чтобы прийти к новой концепции интегрирования, обобщающей римановскую.
Это и сделал Лебег в работах [7, 8, 13], разработав три подхода к новому понятию интеграла: геометрический — в виде меры ординатного множества подлежащей интегрированию функции49, аналитический — через своеобразную конструкцию интегральных сумм50 и аксиоматическийЛебег не только ввел новое, более общее понятие интеграла, но и разработал целую теорию нового интегрирования, а также применил свой интеграл для решения многих вопросов теории функций.
Наряду с проблемой обобщения понятия интеграла, в исследованиях по теории функций в XIX в. появилась потребность и в обобщении понятия производной. Интересен тот исторический факт, что обобщение производной всюду до производной почти всюду совершилось как-то незаметно в довольно длинном ряде работ различных математиков, начиная с Коши. Да и сам Лебег не вводил последней специальным определением, а принял ее как нечто само собой разумеющееся. Однако именно понятие производной почти всюду оказалось нужным, чтобы связать лебе-говское интегрирование с обобщенной таким образом операцией дифференцирования, чтобы интеграл Лебега действительно оказался обращением дифференцирования. Решение последней
49
См. Песин
П, с 75-
-79
, Медведев
[2,
с.
236-
-238
SO
См. Песин
1, с 71-
-72'
, Медведев
2,
с.
232-
-236
51
См. Песин
1, с. 57-
-64
, Медведев
2,
с.
241-
-243
65
задачи в ее полном объеме принадлежит, однако, не Лебегу, а Витали и Риссу52. Но Лебег, пользуясь новым понятием производной, доказал ряд фундаментальных теорем, из которых назовем лишь теорему о дифференцируемости почти всюду функции с ограниченным изменением [10; 13, с. 128].
С вопросами дифференцирования в многомерном случае дело обстояло еще сложнее. Мы уже упоминали (с. 12), что до начала XX столетия в математике практически не существовало понятия, соответствующего физическим понятиям плотности тела в точке, напряженности поля и другим аналогичным представлениям математического естествознания. Можно было вычислить линейную плотность тела в заданном направлении, но нечем было выразить процесс получения плотности тела в точке без задания определенного направления — дифференцировать массу тела по объему просто не умели, если не считать довольно расплывчатых представлений Коши и Пеано и если не считать за математические операции те манипуляции, которые совершали механики и физики при описании дифференциальных величин подобного рода.
И хотя теория интегрирования по Риману была во многом перенесена с одномерного на многомерный случай, многие факты одномерного интегрирования не распространялись на функции нескольких переменных; в частности, не существовало одного аналога важнейшей теоремы Лейбница — Ньютона. Лебег, приверженец идеи взаимосвязи операций дифференцирования и интегрирования, столкнулся с этим обстоятельством при попытках распространить свою одномерную теорию на случай нескольких переменных. И он, по-видимому, не зная тогда предшествовавших попыток Коши и Пеано, по-новому подошел к самим проблемам дифференцирования и интегрирования. А именно: он в 1910 г. [32] создал концепцию функции множества; неопределенный интеграл стал рассматривать как функцию множества и, построив теорию дифференцирования функции множества по мере множества, связал дифференцирование и интегрирование между собой подобно тому, как они были связаны для функций одного переменного, если, конечно, перевести соответствующие факты на язык теории функций множества. В частности, он доказал и аналог формулы Ньютона — Лейбница".
