Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
38 Лебег [22]
39 Функцию / Лебег назвал непрерывной с точностью до е на замкнутом множестве Е, если существует непрерывная функция ф, определенная всюду на Га, Ь] и такая, что If-ф|<е в точках множества Е.
40 Например, У. Г Юнг не менее трех раз, затем Валле-Пуссен, Куратовский, Лузин и др.
50
пых проблем к одномерным. Укажем еще, что понятие непрерывной с точностью до є функции хорошо послужило затем и самому Лебегу, и многим его последователям. К тому же некоторые виды рассуждений, использовавшиеся при доказательствах этой теоремы, вызывали сомнения методологического характера (например, рассуждения, опиравшиеся на трансфинитную индукцию), что также приводило к стремлению найти новое доказательство.
Изучение теоремы о функциях первого класса — лишь один пример исследований, связанный с бэровской классификацией функций.
Другим примером является рассмотрение вопроса о непустоте классов Бэра. Мы упоминали (стр. 38), что Бэр в первой же работе, в которой он ввел свою классификацию, выразил убеждение, что для всякого трансфинитного числа а второго числового класса существуют функции, принадлежащие классу с индексом а. Однако ни здесь, ни в последующих своих работах он не подтвердил это общее утверждение математическим рассуждением.
Вопрос о непустоте классов классификации Бэра тесно связан с проблемой существования математических объектов и способов доказательства этого существования. Эта проблема очень интересовала Бореля, Бэра и Лебега, и о ней мы более подробно будем вести речь в следующей главе. Сейчас же только отметим, что Бэр был склонен считать существование математического объекта доказанным, если это установлено при помощи некоторой конструкции, осуществляемой в конечное число шагов; не исключено, что именно такое умонастроение помешало ему подтвердить каким-либо математическим рассуждением его убеждение в непустоте классов.
Борель в вопросах существования придерживался менее жестких требований, допуская в математических рассуждениях счетную бесконечность. Это, видимо, облегчило ему поиски доказательства утверждения о непустоте бэровских классов с любым конечным индексом [29, с. 156—158].
Еще более либеральным был Лебег, считая, хотя и с некоторыми ограничениями, законной и несчетную бесконечность. Вероятно, как раз это и позволило ему в 1904 г. анонсировать [15], а в 1905 г. доказать [21, с. 208—211] существование функций во всяком классе классификации Бэра. О характере доказательства Лебега можно получить достаточное представление из книги Натансона [1, с. 431—433].
Если упомянутая общетеоретическая установка Бэра, возможно, и помешала ему дать общее доказательство непустоты классов своей классификации, она, однако, по-видимому, способ-стовала нахождению им арифметического примера функции третьего класса. Подобные примеры функций первого класса были известны давно. Известны были и примеры функций второго класса: в 1905 г Борель [29, с. 99] и Лебег [21, с. 140] ука-
57
зали, что функция, равная единице для рациональных чисел и нулю для остальных, т. е. характеристическая функция множества рациональных чисел, есть функция второго класса. Построение индивидуального примера функции третьего класса оказалось довольно хлопотливым делом и было осуществлено Бэром только в 1906 г. [13, с. 47]Еще более сложным оказалось построение индивидуальных функций четвертого и более высоких классов — та'кое построение было предложено Л. В. Келдыш много лет спустя.
Следующим важным направлением исследований по классификации Бэра явилось нахождение характеристических свойств функций различных классов, когда индекс класса ^2. Мы упоминали (с. 38), что сразу же после установления теоремы о функциях первого класса Бэр попытался найти ее аналог для функций второго класса. Уже в 1898 г., введя понятие множества первой категории, Бэр анонсировал теорему, что функции второго класса необходимо точечно разрывны на всяком совершенном множестве, если пренебречь множеством первой категории на этом совершенном множестве [3, с. 1623]. В диссертации [5, с. 81 — 87] он доказал это утверждение. Вслед за тем он сформулировал [7] предложение, что это свойство необходимо присуще не только функциям второго класса, но и вообще всем функциям, входящим в его классификацию, и притом при более общих предположениях, когда рассматриваются функции, заданные на множествах введенного им здесь пространства, получившего затем наименование топологического пространства Бэра.
В 1905 г. к этому вопросу обратился Лебег, доказав [21, с. 187, 188], что все ?-функции, заданные на множествах евклидовых пространств, необходимо обладают свойством Бэра, т. е. точечно разрывны на всяком совершенном множестве, если пренебречь некоторым множеством первой категории на этом совершенном множестве. В следующем году это же доказал другим способом сам Бэр [13, с. 27—29], а в 1909 г. опубликовал [17, с. 131, 132] доказательство этой теоремы в общности функций, заданных на множествах, элементами которых являются последовательности натуральных чисел, т. е. на множествах из пространства Бэра.
