Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы озаглавили настоящий параграф словами «?-множества и ?-функции», однако до сих пор, лишь упомянув о введении Борелем ?-множеств, пока все время вели речь только о ?-функ-циях. Такой порядок описания соответствует ходу исторического развития, ибо ни Борель, введший ?-множества, ни Бэр, изучивший ?-функции, не заметили связи этих двух понятий друг с другом, хотя неявно и пользовались ?-множествами при изучении ?-функций. Ситуация была такой, что до появления в 1905 г. мемуара Лебега [21] ?-множества, введенные Борелем в 1898 г., специально не изучались и в явном виде имели лишь очень ограниченное применение. На переднем плане стояло изучение ?-функций. Напротив, со времени появления названной работы Лебега началось параллельное изучение ?-множеств и B-функций, а затем предпочтение стало оказываться теории В-множеств.
" См Лузин [4, с. 580-585].
60
Мы упоминали (с. 39), что в своей диссертации Бэр ввел множества вида E[f(x) ^a]44. Однако ни в ней, ни в последующих работах Бэр не нашел этим множествам особенно плодотворных применений. Напротив, Лебег еще в 1901 г. [7\ а затем в диссертации и ряде последующих работ положил эти множества как в основу конструкции нового понятия интеграла, так и вообще в основу изучения функций, определив, в.частности, сих помощью само понятие измеримой функции. Тем самым он разработал весьма общий и чрезвычайно плодотворный метод теории функций.
Еще в диссертации [8, с. 257, 258], а затем в книге [13, с. 111, 112] Лебег установил, что всякая 5-функция обладает тем свойством, что для нее множества E[f(x) >а], где а — любое действительное число, являются ?-множествами. Однако тогда это было для него, да и для других, видимо, простой констатацией некоторого математического факта. В работе же [21] этот факт перерос в глубокую связь между 5-множествами и 5-функциями. Остановимся вкратце на этой связи. В общем-то, основным предметом исследования Лебега являются ?-функции, что видно из названия мемуара и многих результатов, содержащихся в нем. Но 5-мно-жества играют здесь столь большую роль, что становятся самостоятельным важным предметом исследования.
Первым шагом Лебега явились такие определения [21, с. 156, 157]45. Множество точек называется множеством F класса а, если его можно рассматривать как множество E(a^f^b), соответствующее функции / класса а, причем это невозможно для функции, принадлежащей классу с меньшим индексом. Точечное множество является множеством О класса а, если его можно рассматривать как множество ?(а</<6), соответствующее функции / класса а, причем это невозможно ни для какой функции, принадлежащей классу с меньшим индексом. Основанием для этих определений служит то, что в случае а=0, т. е. когда рассматриваемые функции непрерывны, множества F оказываются замкнутыми, а множества О — открытыми.
В соответствии с этими определениями получаются две классификации точечных множеств, соответствующие бэровской классификации функций. Однако Лебег тут же показывает, что дополнение множества F любого класса есть множество О того же класса, и наоборот (с. 157, 158), и это позволяет ему не различать эти классификации, а рассматривать лишь множества одного типа, в качестве которых он берет множества F4".
44 В некотором смысле применение этих множеств можно связать с римановским условием интегрируемости Подобными множествами до Бэра пользовался Гарнак.
45 Далее страницы в тексте относятся к работе Лебега [21].
46 В главе IV, посвященной классификации B-множеств, Лебег изучает и взаимосвязи F- н 0-множеств различных классов, на чем мы не будем останавливаться.
61
Рассматривая затем теоретико-множественные операции, Лебег показывает, что:
а) пересечение счетного множества множеств F самое большее класса а есть множество самое большее класса а (с. 159);
б) сумма счетного множества множеств F класса есть множество F класса (с. 160).
Обозначая затем через S множество множеств F и О, соответствующих различным бэровским функциям, Лебег устанавливает (с. 160—.165), что S состоит из множеств, получаемых из интервалов повторным применением операций счетного суммирования и пересечения. А эти множества, как замечает Лебег (с. 165), и являются множествами, измеримыми по Борелю, или ?-множествами.
Так, отправляясь от классификации Бэра, Лебег получает классификацию борелевских множеств. Построив и изучив ее, он далее применяет ?-множества для изучения ?-функций. Здесь отправным пунктом является новое определение последних.
Функцию f Лебег (с. 166) называет ?-измеримой, если, каково бы ни было действительное число а, множества E(f>a) являются ?-измеримыми.
Опираясь на это определение, Лебег доказывает, что:
а) для того, чтобы определенная всюду функция / была класса а, необходимо и достаточно, чтобы при любом действительном а множество E(f>a) было самое большее класса a и чтобы оно было эффективно класса а для некоторых значений а (с. 167);
б) для того, чтобы функция была представимой аналитически47, необходимо и достаточно, чтобы она была ?-измеримой (с. 168—170).
