Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Большую роль в утверждении обновленной теории функций как важной математической дисциплины сыграли курсы лекций, прочитанные на рубеже XIX—XX вв. Борелем, Лебегом и Бэром в различных высших учебных заведениях Франции. Значение этих лекций существенно возрастало благодаря тому, что они во многих случаях публиковались в виде отдельных книг, порой по записям слушателей, которые принимали участие в подготовке издания этих книг.
Цикл таких лекций в 1897 г. открыл Борель в Высшей Нормальной школе. В 1898 г. борелевские «Лекции по теории функций» вышли отдельной книгой [14]—первой из его знаменитой серии «Монографии по теории функций», охватившей затем пятьдесят книг различных авторов, как французских, так и зарубежных.
В 1899/1900 г. он прочел в той же школе лекции по расходящимся рядам, где, наряду с историческим очерком этой проб-
52
лемы, были изложены борелевские методы суммирования и их применения. В 1901 г. эти лекции появились в виде книги [21].
В 1900/01 г. уже в Коллеж де Франс Борель изложил многие факты из теории рядов, и в 1902 г. вышли его «Лекции о рядах с положительными членами» [23].
В 1902/03 г. тоже в Коллеж де Франс дебютировал Лебег своими «Лекциями об интегрировании и отыскании примитивных функций» [13], опубликованными отдельной книгой в 1904 г.
В 1903/04 г. в Высшей Нормальной школе Борель прочел лекции о функциях действительного переменного и их разложении в ряды многочленов, а в следующем году они были напечатаны в виде книги [29].
В 1904/05 г. предметом лекций Лебега в Коллеж де Франс явилась теория тригонометрических рядов, а в 1906 г. была опубликована его книга «Лекции о тригонометрических рядах» [24].
В том же Коллеж де Франс прочел курс лекций по проблематике своих исследований Бэр, и результатом этого курса оказалась книга «Лекции о разрывных функциях» [10], опубликованная в 1905 г.
Укажем, наконец, еще лекции Бореля, прочитанные им на факультете наук Парижского университета в 1907/08 г. и появившиеся в 1910 г. в виде книги «Лекции по теории роста» [38].
Было бы слишком длинным да и не очень полезным делом подробно описывать содержание этих книг. Ограничимся несколькими общими замечаниями.
Прежде всего поражает интенсивность проделанной работы. Вряд ли можно назвать какую-либо другую отрасль математики, по которой в этот период в столь короткий срок и в одной стране появилось бы так много первоклассных монографий. Это, несомненно, свидетельствует о напряженности научных поисков и значительности результатов, полученных французскими учеными рассматриваемого периода в новой отрасли знания.
Разумеется, далеко не все в названных книгах было совершенно новым. Напротив, подавляющее большинство результатов уже было опубликовано в разнообразных математических изданиях, к тому же многие из них не принадлежали Борелю, Бэру или Лебегу. Изложенные, однако, в более или менее систематической форме, освещенные, как правило, с новой точки зрения, даже давние теоретико-функциональные результаты приобретали новое звучание. Проиллюстрируем последнее несколькими примерами.
Как мы говорили, расходящиеся ряды рассматривались математиками чуть ли не с самого начала изучения бесконечных рядов. В XIX в. было предложено несколько методов их суммирования. Однако до появления книги Бореля [21] они мало кого интересовали. Положение существенно изменилось после ее выхода, о чем свидетельствует такой, например, факт: за десяти-
53
летие 1890—1901 гг. по ним было опубликовано 28 работ, из которых почти половину составляют борелевские статьи; в следующем десятилетии расходящиеся ряды стали предметом 85 работ38. Конечно, неразумным было бы интерес к расходящимся рядам связывать только с появлением книги Бореля [21], опубликованной в 1901 г. Однако большое воздействие ее на усиление этого интереса вряд ли кто станет оспаривать.
Теория интегрирования привлекала многих математиков XIX в. Но не располагая достаточно общим понятием меры, они, как правило, оставались в рамках римановской концепции37 и лишь делали отдельные попытки вырваться из них в теории несобственных интегралов (Гарнак, Гёльдер). Теория интегрирования по Риману и связанные с нею вопросы явились предметом шести из семи глав книги Лебега [13]. Но рассмотренная с новой точки зрения, она привела к новой теории интегрирования, которой после появления книги Лебега стало заниматься огромное число ученых.
Квазиравномерная сходимость последовательностей функций, введенная в 1884 г. Арцела и примененная им в нескольких последующих работах, оставалась, несмотря на обращение к ней в самом начале века У. Г. Юнга и Гобсона, малоизвестной. Когда же в 1905 г. это понятие и его применение к нахождению необходимых и достаточных условий непрерывности суммы ряда непрерывных функций изложил Борель в книге [29], то оно показалось столь новым, что само его введение порой связывалось с именем Бореля, хотя последний и указал на то, что оно, как и основанная на нем теорема, принадлежат Арцела.
Об интересе к этим книгам свидетельствуют переиздания и переводы их на другие языки. Так, книга Бореля [14] переиздавалась еще в 1914 и в 1926 гг.; в 1928 г. вышло второе издание книги Лебега [13]; в 1934 г. она была переведена на русский язык, а в 1966 г.— на английский; в 1930 г. появилось второе издание книги Бэра [10], а в 1932 г. был сделан ее русский перевод, и т. д. По этим книгам учились студенты и аспиранты не только Франции, но и многих других стран. Например, Млодзиевский и Бюшгенс использовали их в лекциях по теории функций в Московском университете и рекомендовали их своим слушателям. Наконец, все они служили отправными пунктами многочисленных исследований по теории функций во Франции и далеко за ее пределами, а также основой для последующих монографий и учебных руководств по этому предмету.
