Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Борель долго не обращался к проблематике интегрирования функций. С 1910 г. он занялся ею, опубликовав несколько работ, в которых предложил свое определение понятия интеграла и даже претендовал на то, что его определение в ряде отношений предпочтительнее и более общо в некоторых случаях, нежели лебегово. Однако ни его первоначальные определения [39, 40], ни их дальнейшее развитие [43, 48] не оправдали этих претензий".
52 См. Медведев [2, с. 251—257].
53 Подробнее см. Медведев [2, с. 263—279].
" О подходе Бореля к понятию интеграла см. Песин [1, с. 101—111]. 66
Зато в дифференциальном исчислении Борелю принадлежит интересное понятие, известное под наименованием «борелевскои производной». Эту производную он ввел в 1912 г. [42] для характеристики функций, с которыми он столкнулся в статистической физике и которые оказались недифференцируемыми в обычном смысле. Сам он, кажется, не изучал свойства этой производной и не связывал ее с какой-либо операцией интегрирования. Это было сделано позднее Хинчиным (1923 г.), а затем Саржентом (1934 г.) и др.
Здесь же упомянем об обобщении Монтелем одной теоремы Лебега о производной почти всюду. Как мы уже говорили, Лебег в 1903 г. доказал, что всякая непрерывная функция с ограниченным изменением дифференцируема почти всюду. В частности, отсюда вытекало, что дифференцируема почти всюду и всякая функция с ограниченными производными числами. Монтель в 1912 г. [2] обобщил последнее предложение на функции с конечными производными числами.
Вслед за Лебегом и Борелем в разработку теорий дифференцирования и интегрирования включились их более молодые соотечественники Данжуа и Фреше и добились в этом новых значительных успехов.
Сколь бы общими для начала века ни были процессы дифференцирования и интегрирования, разработанные Лебегом, они вскоре оказались недостаточными. В частности, интеграл Лебега не решал одну из основных задач, ради которой он был создан,— проблему нахождения примитивной по ее производной (почти всюду) функции. Этот интеграл позволял восстанавливать примитивные по их ограниченным производным, а также для некоторого класса неограниченных — когда последние суммируемы.
Лебег еще в своей диссертации [8, с. 272] сделал первые попытки решить проблему примитивных для функций более широких классов, но не пошел далее некоторых наметок, о чем сожалел впоследствии [37, с. 205]. Этой проблемой занялся молодой тогда Данжуа, ив 1912 г. ему удалось решить ее для любой конечной производной функции путем обобщения интеграла Лебега до узкого интеграла Данжуа [4, 5]55. За этими двумя заметками последовала серия работ Данжуа [8—13], в которых изучались новый интеграл, производные числа функций и их связь с интегрированием, включая и еще более общие концепции дифференцирования и интегрирования — аппроксимативную производную и широкий интеграл Данжуа 5в.
Несмотря на то что в начале столетия фронт работ французских математиков по теориям дифференцирования и интегриро-
и О попытках Лебега и об узком интеграле Данжуа см. Песий [1, с. 148— 163].
5в В изучении двух последних понятий его немного опередил Хинчин. См. Лесин [1, с. 163-176].
47
вания и их взаимосвязям был очень широким и ими были получены глубочайшие результаты, вне сферы их интересов почему-то оставалось одно чрезвычайно важное обобщение понятия интеграла, введенное Стилтьесом еще в конце прошлого столетия. Изучение интеграла Стилтьеса и его применений проводилось до 1910 г. многими математиками других стран (Кёнигом, Марковым, Ляпуновым, Ковалевским, Гильбертом, Хеллингером, Ван-Флеком, Риссом"), но только в 1910 г. на него обратили внимание французские ученые. К исследованиям по теории этого интегрирования приступили Лебег [31] и Фреше [12, 13]58, но полученные ими результаты не стали определяющими для ее дальнейшей разработки. До 1915 г. французские математики были в ней скорее последователями ученых других стран, а не создателями новых концепций, но в указанном году Фреше изменил ситуацию. На этом мы позволим себе остановиться несколько подробнее.
Понятие интеграла в том виде, в каком оно изложено в книге Сакса [1, с. 11—63], еще и до сегодняшних дней является важнейшим орудием исследований в самых разнообразных областях математики и математического естествознания. В математической литературе этот интеграл называют по-разному: просто интеграл Лебега, интеграл Лебега — Стилтьеса, абстрактный интеграл Лебега, интеграл Радона, и довольно редко его называют по имени Фреше. Между тем именно последний является подлинным его создателем, так как ему принадлежит наиболее существенный шаг в концепции интегрирования такой общности — рассмотрение измеримости множеств и функций относительно а-кольца множеств.
Лебег, Радон и У. Г. Юнг рассматривали интегрирование только для функций точек, заданных на точечных множествах n-мерного евклидова пространства, причем первый в своих ранних работах ограничивался интегрированием функций только по введенной им мере. Радон и Юнг существенно обобщили понятие интеграла Лебега благодаря тому, что расширили лебегов-скую меру до меры Лебега — Стилтьеса, однако последняя оставалась у них все же только мерой, хотя и более сложной, множеств точек того же евклидового пространства и строилась по образцу лебеговской.
