Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Желая преобразовать условие равенства нулю производной
X
от §\<p(f)\dt в точке ^ = О, фигурирующее в его критерии CXO-
а
димости, Лебег ввел важное понятие плотности множества в точке (с. 266). В названной работе он воспользовался им только для того, чтобы для ограниченной функции <р(0 заменить предыдущее условие таким: каково бы ни было е>0, множество точек •^[|ф(0І>є] имеет в /=0 нулевую плотность. Однако впоследствии понятие плотности приобрело самостоятельный интерес и стало применяться далеко за пределами собственно теории тригонометрических рядов, например при введении нового очень общего понятия асимптотической или аппроксимативной производной Хинчина и Данжуа.
Второй идеей, которую мы охарактеризуем несколько подробнее, является следующая. При рассмотрении лебеговского мемуара «О функциях, изобразимых аналитически» мы говорили, что Лебег назвал функции, входящие в классификацию Бэра, функциями, изобразимыми аналитически. Смысл этого наименования заключался в том, что только такие функции можно представить в виде пределов (простых или повторных, причем повторение может быть продолжено трансфинитно) последовательностей непрерывных функций (или многочленов), если понимать сходимость в виде сходимости всюду или в каждой точке. Так что здесь Лебег еще связывал аналитическую изобразимость функции только с таким ее представлением. Интересно, что в статье «Исследования о сходимости рядов Фурье» [18], опубликованной в том же 1905 г., он наметил гораздо более общий подход, а именно: начал рассматривать аналитические выражения как представляющие функцию и в тех случаях, когда сходимость имеет место только почти всюду; более того, представимость была распространена на суммируемость и даже суммируемость почти всюду. Приведем одну цитату из этой его работы.
«Пусть f(x) имеет интеграл — неважно, будет ли это интеграл в смысле Римана или моем. Пусть F(x)—неопределенный интеграл от f(x). Тогда по теореме, которую я упоминал и в связи с которой сослался на стр. 123 и 124 моих „Лекций об интегрировании",
f{x) = ]xmF{x + h)-F(x) =F'(x),
А=о А
за исключением множества значений х меры нуль. Это сводится к тому, чтобы сказать, что можно найти последовательность непрерывных функций, стремящуюся к f(x) всюду, кроме исключи-
73
тельных значений х, или же что существует аналитическое выражение, представляющее f(x), кроме этих значений, причем это выражение будет рядом многочленов от х. Впрочем, нельзя надеяться на лучшее, если обратиться к более общим аналитическим выражениям, так как не только существуют функции, не поддающиеся никакому представлению рядом многочленов, но существуют даже функции, не поддающиеся никакому аналитическому представлению"» [18, с. 272].
В приведенных словах Лебега много важных мыслей. Во-первых, здесь налицо формулировка — а практически и доказательство— теоремы, что всякая суммируемая функция f(x) может быть представлена последовательностью многочленов, сходящейся к f(x) почти всюду,— частного случая теоремы Фреше, в которой f(x) является измеримой почти везде конечной функцией, доказанной последним первоначально для ?-функций f(x) [4], а затем в 1906 г. и в общем виде [8, с. 15—16]. Во-вторых, здесь определенно намечен отход от взгляда на аналитическую представимость функции только при помощи предельного перехода всюду—взгляда, которого придерживался Лебег совсем незадолго до этого. Более того, высказана даже неизбежность такого более общего подхода, поскольку в мемуаре, на который сослался Лебег, им, как уже говорилось, был построен пример функции, не входящей в классификацию Бэра, а значит не предста-вимой аналитически в прежнем смысле, которая, однако, суммируема (и даже интегрируема по Риману), а значит, представима — в соответствии с формулировкой приведенной теоремы — в виде сходящейся почти всюду последовательности многочленов. И хотя лебеговские слова, что существуют функции, «не поддающиеся никакому аналитическому представлению», могли бы создать впечатление, что и в [18] Лебег еще придерживается прежнего взгляда, но последующее содержание этой работы убеждает, что он отказался от него бесповоротно. Действительно, когда он в заключительных разделах своей статьи перешел к рассмотрению методов суммирования тригонометрических рядов, то здесь аналитическая изобразимость функции понималась им не только в смысле суммируемости ряда в каждой точке, но и в смысле суммируемости почти всюду. Один из своих основных результатов он формулирует так: «Ряд Фурье, соответствующий любой суммируемой функции, суммируем методом среднего арифметического и позволяет распознать рассматриваемую функцию всюду, за исключением некоторого множества меры нуль» [18, с. 277]. Правда, здесь он не употребляет слов «аналитическое представление», но речь идет о ряде Фурье, позволяющем «распознать рассматриваемую функцию», так что имеется
84 По этому вопросу я отошлю к моему мемуару в «Journal de Mathematiques» за 1905 г «О функциях, представимых аналитически» [сноска Лебега.— Ф. M.].
