Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
,0 Подробнее см. Паплаускас [2]. 70
Цикл работ Лебега по тригонометрическим рядам был открыт заметкой 1902 г. «Одна теорема о тригонометрических рядах» [9], в которой он обобщил известную теорему единственности тригонометрического разложения в форме Дюбуа-Реймона привлекши для этой цели только что введенный им интеграл вместо интеграла Римана. С точки зрения отмеченной взаимосвязи понятия интеграла с понятием ряда Фурье здесь интересно одно замечание Лебега. Напомним, что к этому времени его диссертация [8] еще не вышла из печати и он вынужден был сослаться в связи со своим интегралом лишь на заметку [7]. В то же время ему в его рассуждениях потребовалось приведение кратных интегралов к повторным, и по этому поводу он пишет: «Для преобразования этих интегралов я обобщаю понятие кратного интеграла так же, как и простого, и доказываю, что в широких случаях вычисление кратного интеграла эквивалентно вычислению простых интегралов» [9, с. 586]. Он, конечно, имел право заявлять так, поскольку в его диссертации он действительно доказал теорему Фубини для случая ограниченных функций, но в таком виде она была недостаточна для получения его основного результата о единственности тригонометрического разложения, что, вероятно, заставляло его думать о способах обобщения теоремы о сведении кратных интегралов к повторным. Этого Лебегу не удалось, и лишь Фубини в 1907 г. доказал эту теорему для интеграла Лебега в полной общности.
Указанную взаимосвязь Лебег особенно подчеркнул в своей следующей работе «О тригонометрических рядах» [12]. Ставя своей целью показать полезность в теории тригонометрических рядов введенного им понятия интеграла, он в то же время вынужден констатировать его недостаточность при рассмотрении некоторых вопросов этой теории и даже пытается набросать (с. 455) довольно неопределенную схему более общего определения понятия интеграла в виде разности значений примитивной. И если последнее Лебегу не удалось ни здесь, ни в ряде других аналогичных случаев, то целесообразность введения интеграла от суммируемых функций продемонстрирована им в [12] достаточно ярко.
Здесь он более подробно передоказал теорему единственности, исправив, в частности, свое предыдущее замечание [9, с. 587], что теорема остается справедливой, когда множеством единственности является произвольное замкнутое множество меры нуль, и заменив его приводимым множеством (с. 460—468). Затем он установил (с. 471—474), что коэффициенты Фурье суммируемых функций стремятся к нулю при n-voo, изучил условия сходимости рядов Фурье (с. 481)68 и построил функ-
e» О ней см. Паплаускас [1, с. 228—234].
вг Более подробно этот вопрос Лебег рассмотрел в следующей работе, и мы остановимся на этом несколько далее.
71
цию, неинтегрируемую в смысле Римана, но представимую рядом Фурье в каждой точке (с. 481—482). В заключение доказана теорема о возможности почленного интегрирования рядов Фурье —Лебега (с. 483—485).
Лебеговская работа 1905 г. «Исследования о сходимости рядов Фурье» [18] интересна во многих отношениях. Если доказанные им ранее предложения о единственности тригонометрического разложения, о стремлении при п-+оо коэффициентов к нулю и о почленном интегрировании являлись обобщениями, получаемыми относительно простым применением новой концепции интегрирования и соответствующих модификаций прежних рассуждений, то в [18] содержатся, наряду с элементами подобного же типа, и некоторые совершенно новые интересные соображения.
Прежде всего, здесь доказан чрезвычайно общий критерий сходимости рядов Фурье. Если f(x)—рассматриваемая функция,
Ф(/) = /(* + 2/) + /(*-20-2/(х), W=SStL,
sm г
то в формулировке Лебега (с. 463) этот критерий выглядит так: «Ряд Фурье сходится к функции в точке х, если интеграл от |ф(я)| имеет производную, равную нулю при t=0, и если величина
а
JЦ>(*+ 6)-4)(01Л (*>а>,0, 6>0)
стремится к нулю вместе с б.
Для его получения Лебег глубоко проанализировал предшествующие признаки сходимости, предложенные в разное время Дирихле, Липшицем, Жорданом и Дини (с. 251—260), а затем показал, что все они содержатся как частные случаи в установленном им признаке (с. 267—269). Далее Лебег обобщил теорему Фейера о суммируемости методом среднего арифметического рядов Фурье, соответствующих .R-интегрируемым функциям, в точках непрерывности и регулярности f(x) es, доказав ее в таком виде: «Ряд Фурье функции f суммируем методом среднего арифметического в точке х и позволяет вычислить f(x), если соответствующая функция |ф(/)| является производной своего неопределенного интеграла при ^ = 0» (с. 274). Наконец, он получил аналогичный результат для метода суммирования Римана (с. 279—280).
Но сами эти фактические результаты образуют лишь одну сторону рассматриваемой работы. Чрезвычайно интересны неко-
63 Точка X называется регулярной точкой функции f(x), если f(x—0), f(x+0) существуют и выполняется равенство 1(х+0)-\-}(х—0)=2f(x).
72
торые тенденции, только намеченные в ней, но получившие затем значительное развитие. На двух из них мы остановимся.
