Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
45
впоследствии неотъемлемой составной частью теории функций действительного переменного. Мы сознательно ограничились таким пониманием этой теории, чтобы в фундаменте ее лежали теоретико-множественные представления, с целью отличить ее от классического анализа. Но такое ограничение, разумеется, является довольно искусственным, поскольку в рамках анализа, без прямого обращения к теории множеств, вырастал поток исследований, влившихся затем в теорию функций.
Во-вторых, наряду с первоклассными учеными, как обычно, работали немало тружеников меньшего ранга. Они не получили столь блистательных результатов, но их труд был необходим н для возникновения новых концепций, и для их углубления и распространения.
Если подходить к истории теории функций во Франции с требованием включить в нее и исследования указанного типа, то написание такой истории оказалось бы трудноосуществимым делом. Потребовалось бы изучить слишком большое число работ в самых разнообразных областях математики, особенно в теории функций комплексного переменного, в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, в математической физике.
Поэтому мы ограничимся лишь краткими упоминаниями отдельных направлений исследований или результатов ряда математиков Франции указанного периода и чуть подробнее остановимся на работах нескольких ученых по теории расходящихся рядов, обычно не рассматривавшихся в историко-математической литературе.
Из исследований Адамара мы остановимся только на двух фактах.
При рассмотрении многих вопросов теории функций очень часто применяются понятия верхнего и нижнего пределов. Этими понятиями пользовался еще Коши; их заново ввел и неоднократно применял Дюбуа-Реймон, а затем и некоторые другие математики. Но только в 1892 г., когда Адамар воспользовался верхним пределом в столь важном тогда вопросе теории функций комплексного переменного, как вычисление радиуса сходимости ряда Тейлора, и дал для радиуса сходимости выражение
_ 1
где ап — коэффициенты ряда, это понятие настолько прочно вошло в математику, что его нередко связывают только с именем Адамара29, хотя последний и отмечал принадлежность этого понятия Дюбуа-Реймону.
Мы вкратце упоминали (с. 34) о роли теории роста функций
См., например, Мандельбройт [1, с. 26].
46
в методике подхода к трансфинитным числам у Бореля30. С этой точки зрения интересна статья Адамара «О свойствах сходимости рядов с положительными членами и о неограниченно возрастающих функциях» [1], опубликованная в 1894 г. Ее основное содержание не так уж интересно в рассматриваемом нами аспекте истории теории функций, да к тому же в нем были отражены по большей части уже известные результаты, ранее полученные Дюбуа-Реймоном и Пинкерле, что признал и сам Адамар в дополнительном замечании к своей работе [1, с. 421]. Однако § 19—21 этой статьи (с. 334—336) любопытны, по крайней мере, в двух отношениях. Во-первых, для рассмотрения множеств функций, возрастающих до бесконечности все более медленно, Адамар привлек соображения о мощности множеств, опираясь на работы Кантора31. Во-вторых, он построил иерархию этих функций таким образом, что при введении понятия порядка роста и соответствующей символике (которых у Адамара не было) из этой иерархии получилась бы совокупность трансфинитных чисел второго числового класса. Как раз аналогичными соображениями и руководствовался Борель при введении трансфинитных чисел в 1898 г.
В качестве третьего примера укажем работы Пуанкаре 80-х годов по асимптотическим разложениям.
Асимптотические разложения появились в анализе с самого зарождения последнего32. На протяжении очень длительного времени математики смешивали бесконечные ряды и асимптотические разложения; у Бурбаки [1, с. 212] этот факт выглядит как упрек математикам прошлого. Однако такое смешение, имевшее место, в частности, и у Пуанкаре, оказалось очень полезным для развития теории суммируемых расходящихся рядов. Дело в том, что после работ Гаусса, Галуа и Коши расходящиеся ряды большинством математиков были признаны «незаконным» орудием анализа и их стремились изгнать оттуда. Однако при изучении некоторых вопросов очень часто приходилось сталкиваться с асимптотическими разложениями в форме расходящихся рядов. А поскольку такие разложения оказывались часто полезными, то тем самым поддерживался и побуждался интерес математиков к расходящимся рядам вообще. Общеизвестен факт, что именно Пуанкаре своими работами в этой области заложил основы асимптотических разложений. И как раз па них, в частности, ссылался, как мы отмечали, Борель при первых своих подходах к теории суммирования расходящихся рядов.
Пикар благожелательно относился к новым изысканиям по теории функций. В своем обзоре развития понятия функции, сделанном в 1899 г., он назвал теорию функций действительного переменного «истинной основой математического анализа»
30 В следующей главе мы возвратимся к этому вопросу.
31 Хотя прямой ссылки на работы последнего у Адамара здесь нет. зг См., например, Бурбаки [1, с. 209—212].
