Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
43
Это определение является, по выражению крупнейшего специалиста в области теории поверхности Радо, «вероятно, наиболее плодотворным из предложенных определений» (1, с. 141],— небезынтересное для 1943 г. признание, если учесть, что вслед за лебеговской были предложены многочисленные дефиниции этого понятия (Тонелли, У. Г. Юнг, Бёркил, Радо и др.). Кроме приведенного определения, являющегося основным содержанием заметок [4—6], в них имелись еще некоторые интересные идеи, на двух из которых мы вкратце остановимся.
Одним из важных понятий функционального анализа является понятие полунепрерывного функционала24, играющее фундаментальную роль, в частности, в вариационном исчислении. В общем виде его ввел в 1921 г. итальянский математик Тонелли. Однако достаточно прозрачно идея полунепрерывного функционала прослеживается и в работах [5, 6] Лебега, появившихся еще в 1900 г.
Вряд ли молодой Лебег был знаком тогда с понятием функционала, введенным ранее Вольтеррой. Но идея длины кривой как функции линии и площади как функции поверхности достаточно естественно возникала из лебеговских изысканий, и он смело ввел ее [5, с. 869; 6, с. 935—936], а затем, используя определение Бэра полунепрерывной функции действительного переменного, распространил ее на выражения, определяющие длины к площади, охарактеризовав их — по аналогии с бэровским определением — как полунепрерывные функционалы. Так, в последней из указанных работ Лебег писал: «В последующем я буду рассматривать функции
/ (С) = f F (х, у, г) ds, / (S) = ff F (х, у, z) da.
С S
Кривая С и поверхность S будут удовлетворять некоторым граничным условиям; F (х, у, z) непрерывна в области, где изменяется С, или на поверхности S1 если С предписано оставаться на S. Если С спрямляема, a S квадрируема, то f(C), /(S) всюду равны их минимуму, т. е. если C1 (или S1) равномерно стремятся к С (или S), то /(С) (или /(S)) самое большее равна наименьшему из пределов 25 /(C1) (или /(S1))» [6, с. 936], т. е. /(С) и /(S) являются полунепрерывными функционалами.
Второй идеей, также тесно связанной с изысканиями Лебега, является, как уже отмечалось, идея обобщения интеграла. Лебег несколько раз указывал на необходимость этого обобщения [5, с. 870; 6, с. 937] и даже пытался в первой из этих заметок дать его, определяя обыкновенный интеграл через криволинейный, а двойной интеграл — через поверхностный {5, с. 869, 870]. Однако заканчивает он эту заметку указанием, что можно дать опреде-
24 О нем см., например, Плеснер [1, с. 224].
25 Т. е. нижнему пределу.
44
ление интеграла для функций одного переменного, не зависящее от криволинейного интеграла.
Реализацией последнего замечания явилась его заметка [7], в которой было предложено известное лебеговское определение интеграла от ограниченных измеримых функций. Кроме самого понятия интеграла, здесь содержалось много других фундаментальных идей теории функций: понятия меры и измеримой функции, ряд теорем об измеримых и интегрируемых функциях2в.
Соображения Лебега, высказанные в заметках [4—7], подробно развиты в его диссертации «Интеграл, длина, площадь» [8], увидевшей свет в 1902 г. в итальянском математическом журнале. Мы не будем останавливаться на. ее содержании, так как в основных идеях оно было высказано в названных заметках; к тому же многое описано Хокинсом [1, с. 121—131]".
Из многих других работ Лебега раннего периода мы пока остановимся еще на двух заметках 1903 г. В первой из них [10] доказана одна из основных теорем теории функций, что всякая непрерывная функция с ограниченным изменением дифференцируема почти всюду. Во второй [11] впервые в общем виде сформулировано понятие измеримой функции28 и высказаны — лишь с краткими указаниями на способы доказательства — две не менее фундаментальные теоремы теории функций, получившие впоследствии наименования «теоремы Егорова» и «теоремы Лузина». К некоторым другим работам Лебега мы возвратимся позднее.
Как и Бэр, Лебег посвятил себя почти полностью миру идей теории функций действительного переменного и связанных с ними геометрических и топологических представлений. Однако если Бэр после своей диссертации и пары последовавших за ней кратких предварительных заметок вынужден был прервать научную деятельность, у Лебега, наоборот, наступил период расцвета его исследований, часть которых будет рассмотрена в следующих параграфах.
§ 4. О работах других французских математиков по теории функций
Несомненно, что именно трудами Бореля, Бэра и Лебега закладывался фундамент новой теории функций действительного переменного в 90-х годах прошлого столетия и в самом начале XX в. Не нужно, однако, думать, что названные математики были единственными учеными Франции, из трудов которых выросла эта новая наука. Дело обстояло сложнее.
Во-первых, в трудах ряда других французских математиков этого периода разрабатывались многие идеи и методы, ставшие
26 Подробнее об этой работе Лебега см. Медведев [2, с. 232—236]. *' См. также Медведев [2, с. 237—240].
28 До этого Лебег смешивал измеримые и суммируемые функции.
