Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
39
дожил в двух заметках [6, 7], в первой из которых он ввел топологическое пространство последовательностей натуральных чисел, известное под названием нуль-мерного пространства Бэра, а во второй дал наметки теории функций, заданных на множествах, образованных из элементов этого пространства и принимающих действительные значения. Однако болезнь помешала ему развить эти идеи, и он возвратился к ним только в 1909 г. До наступления болезни он успел лишь опубликовать в 1900 г. статью [8J, в которой дал доказательство условий достаточности теоремы о функциях первого класса для случая п переменных, а затем в научной деятельности Бэра наступил длительный перерыв.
§ 3. Первые результаты Лебега
Третьим знаменитым выпускником Нормальной школы был Анри Лебег. Нормальную школу он окончил в 1897 г., когда Борель уже проявил себя в области теории функций многими важными работами, а Бэр только начал сообщать о своих фундаментальных результатах. Через год после окончания школы стали появляться работы Лебега.
Лебег дебютировал небольшой статьей [1], посвященной анализу и некоторым расширениям теорем Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций алгебраическими и тригонометрическими многочлена'ми. Эти теоремы Вейерштрасса сыграли большую роль в становлении теории функций действительного переменного, так как они давали выражение произвольной непрерывной функции равномерно и абсолютно сходящимися рядами многочленов. «Таким образом, непрерывная функция, взятая без всяких ограничений, перестала быть чем-то недоступным и получила такое же математическое выражение в виде бесконечного ряда, как аналитическая функция; при этом нередко ряды, представляющие функции, не разлагаемые в строку Тейлора и даже не имеющие производных ни в одной точке, чрезвычайно просты и отличаются большим сходством с рядами, выражающими хорошо известные аналитические функции. Этого одного замечания было бы достаточно, чтобы понять, что чистый анализ не может более ограничиваться изучением только функций комплексной переменной... После открытия Вейерштрасса непосредственное изучение функций вещественной переменной сделалось одной из важнейших очередных задач» (Бернштейн [1,с. 182]).
Доказательства Вейерштрасса его теорем были довольно сложными и опирались на еще не разработанную в то время теорию сингулярных интегралов. Поэтому многие математики, понимая огромное значение теорем Вейерштрасса, предлагали различные варианты доказательств этих теорем. Один из таких вариантов и предложил Лебег в [1]. Однако эта статья любопытна и тем, что автор, опираясь на теорему Вейерштрасса, выходит
40
за пределы непрерывных функций, доказав теорему, что всякая ограниченная на (а, Ь) функция, имеющая счетное множество точек разрыва, представима на этом интервале рядом полиномов, равномерно и абсолютно сходящимся на всяком интервале из (а, Ь), не содержащем точек разрыва функции. Другими словами, Лебега интересуют здесь и разрывные функции, хотя и менее общего типа, нежели те, к изучению которых уже приступил Бэр. И этот факт интересен, в частности, потому, что при подготовке своей статьи Лебег вряд ли знал о первых работах Бэра, появившихся незадолго до ее публикации. Однако вскоре Лебег знакомится с работами Бэра, осознает их большое значение и посвящает ряд своих исследований обобщению и углублению результатов Бэра. К этому циклу как раз и относится его следующая статья [2].
Бэр, охарактеризовав в своей диссертации функции одного переменного первого класса, не сумел распространить свою основную теорему на функции нескольких переменных, полагая, что для установления многомерного аналога этой теоремы его методами требуется предварительное изучение некоторых геометрических свойств множеств в «-мерных евклидовых пространствах, в частности свойств совершенных множеств [5, с. 88]. Лебег в [2] предложил метод сведения задач о функциях нескольких переменных к задачам о функциях одного переменного, основанный на применении кривых Пеано, заполняющих га-мерную область. При помощи этого метода он относительно просто распространил теорему Бэра о функциях первого класса на функции любого конечного числа переменных. Он отметил также, что аналогично распространяются некоторые другие результаты Бэра и что вообще указанный метод может служить во многих подобных случаях; это подтвердилось развитием теории функций.
Бэровская проблематика занимала значительное место в исследованиях Лебега, и к этому мы еще возвратимся в одном из следующих параграфов. После заметки [2] Лебег на некоторое время отошел от этой проблематики, занявшись подготовкой своей диссертации. Цикл его предварительных сообщений, содержание которых впоследствии вошло в диссертацию, состоит из заметок [3—7]. Перед тем как говорить о них, сделаем небольшой экскурс в историю.
В математике XIX в. существовали два типа определений длины кривой и площади поверхности. Один из них состоял в задании аналитической формулы для этих геометрических объектов. Так, если кривая параметрически задана выражениями x=x(t), y=y(t), z = z(t), t ^t2, то длина 1(C) кривой С выражалась формулой
