Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматривавшихся Борелем вопросах нужна была не сама эта теорема о конечном покрытии4, а доказываемая с ее помощью лемма, что если на сегменте задано бесконечное множе-
2 См. Медведев [1, с. 197—203].
3 См Медведев [3, с 89—91].
4 О последующей истории этой теоремы см. Гильдебрандт [1].
29
ство интервалов, общая сумма длин которых меньше общей длины сегмента, то на последнем существует несчетное множество точек, не принадлежащих ни одному из указанных интервалов [2, с. 19]. Но Борель осознал и самостоятельный интерес теоремы, прямо указав на это [2, с. 44].
Любопытны и соображения Бореля по поводу указанной леммы. Он, в частности, писал: «Прежде всего, если определенно существует одна такая точка [не принадлежащая заданным интервалам.— Ф. M.], то таких точек имеется несчетное множество, так как если бы они образовывали счетное множество, то их можно было бы заключить в интервалы, сумма которых5 была бы сколь угодно малой и которые можно было бы выбрать так, что, прибавляя эти интервалы к заданным интервалам, мы имели бы сумму, меньшую общего интервала» [2, с. 43]. Ясно, что речь здесь идет о заключении точечного множества в счетную совокупность интервалов, а отсюда не так уж далеко и до идеи боре-левской меры, в основе которой лежит именно заключение в счетное множество интервалов, а не в конечное, как это было в предшествующих мероопределениях.
Что касается выхода за пределы теории аналитических функций, то и в этом у него были предшественники. Одним из них был Прингсгейм, который в 1894 г. рассмотрел вопрос о том, каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять функция действительного переменного, чтобы ее можно было представить рядом Тейлора. Для функций комплексного переменного этот вопрос был решен давно — таковым является условие моногенности. Для функций действительного переменного это условие далеко не достаточно. Прингсгейм показал, что существуют такие функции, которые имеют производные всех порядков и которые тем не менее не разложимы в ряд Тейлора.
Борель, естественно, при подготовке своей диссертации (напомним, что готовил он ее в 1893 г.) не знал этой работы Прингс-гейма", поэтому особенно интересно, что они с разных сторон пришли к одинаковому (в некотором, конечно, смысле) результату— к необходимости изучения неаналитических функций действительного переменного. Эти функции естественно появлялись в рамках теории функций комплексного переменного. Но если Прингсгейм поставил и решил задачу нахождения необходимых и достаточных условий разложимости функции действительного переменного в ряд Тейлора и ограничился лишь отдельными примерами неаналитических функций, то Борель пошел дальше. Он выделил целый класс таких функций, нашел для функций этого класса аналитическое выражение в виде суммы степенного ряда и ряда Фурье:
; (х) = S (AkXk + Bk cos kx + Ck sinkx), (1)
3 Имеется в виду сумма длин; то же н далее.
" В [2] Борель ссылался на другую работу Прингсгейма.
30
удобное тем, что производная любого порядка функции (1) получалась дифференцированием ряда надлежащее число раз.
Таким образом, если раньше неаналитические функции действительного переменного появлялись при исследовании аналитических функций комплексного переменного скорее в виде отдельных примеров, исследования которых, как писал Борель, «выполнялись с целью открыть у этих функций запутанные свойства или, скорее, установить, до какой степени осложнения могла бы привести идея функции, когда на нее налагается мало или не налагаются совсем надлежащие ограничения» [2, с. 40], то теперь выделен целый класс функций, не являющихся аналитическими и тем не менее в достаточной степени поддающихся изучению, класс функций с вполне определенными свойствами. Поэтому Борель в заключении своей диссертации в явной форме ставит вопрос о необходимости изучения общих свойств неаналитических функций действительного переменного. Следует, впрочем, отметить, что он еще выражал сомнение в наличии большого числа общих свойств у этих функций, «так как, имея данное свойство, умелый аналист часто может построить функцию, не обладающую им» [2, с. 40]. Но, несмотря на это, задача поставлена Борелем достаточно определенно. Более того, он ставит вопрос о том, насколько закономерно использование только аналитических функций в ряде вопросов физики, высказывая предположение, что некоторые из физических закономерностей могут быть лучше описаны функциями, не разлагаемыми в ряд Тейлора [2, с. 43].
Борель сделал и еще один шаг в ослаблении ограничения аналитичности. Вслед за диссертацией появилась его заметка [3], в которой он указал аналитическое выражение вида (1) для функций двух и более действительных переменных, а затем, основываясь на этом, построил [4] пример уравнения в частных производных:
с аналитической правой частью, которое для некоторых значений а имеет неаналитическое решение <p(jt, у). В заключении последней заметки он с оправданной гордостью писал: «Не думаю, что известен такой пример функции двух переменных, которая была бы неаналитической в каждой точке и которая вводилась бы необходимо в связи с очень простой проблемой, в формулировку которой входит лишь аналитическая функция двух переменных» [4, с. 935].
