Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
9 О нем см., например, указанную работу Туччьяроне [1, с. 26]. Однако там этот метод отнесен только к 1901 г., хотя фактически Борель ввел его на пять лет ранее.
10 «Comptes rendus de l'Academie des sciences de Paris», 1896, 123, p. 1216.
11 О нем см. Харди [1, с 229], Туччьяроне [1, с. 18—19].
33
потребность во введении нового понятия меры точечных MHO жеств, подробно рассмотрены в книге Хокинса [1, с. 97—106]12, само это 'мероопределение рассмотрено на указанных страницах книги Хокинса, в книгах Песина [1, с. 54—56], Медведева [2, с. 233, 280—282] и др. Отметим лишь, что в [14] Борель фактически ввел мероопределение Лебега 13, однако та методологическая установка, которой придерживался Борель и которая состояла в непризнании им несчетной бесконечности, видимо, помешала ему стать создателем теории лебеговской меры, которая, кстати, была не нужна в его тогдашних исследованиях; не исключено также, что, как заметил Данжуа [15, с. 191], Борель почувствовал тот недостаток лебеговской меры, что она неинвариантна при топологических преобразованиях.
Теоретико-множественное содержание книги Бореля [14] далеко не исчерпывается введением ?-множеств. В ней вообще были изложены многие вопросы теории множеств и последняя нашла широкое применение в разнообразных проблемах теории функций. Вместе с тем в этой книге определенно выявилось критическое отношение к наивной теории множеств, созданной математиками XIX в. Это проявилось, например, в том, что трансфинитные числа Борель вводил не по способам, предложенным Кантором, а на основе теории роста функций Дюбуа-Реймона; что, как мы сказали, он отрицал несчетную бесконечность, и т. д. Эту критическую направленность уловили даже философы и, и хотя Борель в статье «По поводу новой бесконечности» [17], как бы оправдываясь, дал высокую оценку творчеству Кантора, содержание статьи скорее поддерживало указанную критическую установку.
Занимался Борель и другими вопросами теории множеств и функций. Даже краткое описание его подходов и результатов заняло бы очень много места. Поэтому мы ограничимся лишь беглыми указаниями.
Борель интересовался вопросами конструктивной теории функций, и его работы в этом направлении начали появляться в 1897 г. В качестве примера назовем его статью «Об интерполяции непрерывных функций полиномами» [28], в которой он предложил интересную интерполяционную формулу, изучавшуюся затем рядом авторов15. К вопросам интерполяции он возвращался и в 1905 г., в книге «Лекции по теории функций действительного переменного и их разложениям в ряды полиномов» [29]. Его соображения несколько далее развил Фреше(6, 9, 11].
Из многочисленных других работ Бореля по теории функций и множеств следует также отметить заметку «Одна теорема об измеримых множествах» [27], в которой он, в частности, устано-
12 См. также Данжуа [15].
13 См Данжуа [15], Медведев [2, с. 280—282].
14 См, например, Эвеллен [1].
15 См. Фреше [17].
34
вил, что всякая ?-функция обладает С-свойством Лузина; заметку «Некоторые замечания о множествах прямых и плоскостей» [25], где был намечен выход за рамки теории точечных множеств; заметку «Об эффективном представлении некоторых разрывных функций» [26], где наряду с прочим (кажется, впервые) был поставлен вопрос об исключении трансфинитных чисел из математических рассуждений; наконец, заметку «Об одном свойстве замкнутых множеств» [30], в которой установлено, что для того, чтобы некоторое множество удовлетворяло теореме о конечном покрытии, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым.
Мы перечислили не все работы Бореля по теории множеств и функций даже раннего периода его научной деятельности. К некоторым другим мы еще будем обращаться. Но и описанные работы показали, что перед математиками открылось новое необъятное поле исследований, интересных как сами по себе, так и многообразными их приложениями.
§ 2. Первые результаты Бэра
Достижения Бореля в теории функций действительного переменного, несомненно, велики. Однако почти все его результаты получались как бы с оглядкой на уже существовавшую математику, главным образом теорию функций комплексного переменного. Они появлялись у него при решении задач, поставленных в старых теориях, и после формулировки опять использовались в последних. Видимо, наиболее характерно в этом отношении введение борелевского мероопределения. Как мы отмечали ранее, понятие меры Борель ввел в 1898 г. в книге [14] с целью дать некую метрическую характеристику точечных множеств, появившихся в решавшихся им задачах теории функций комплексного переменного. Как справедливо заметил Песин [1, с. 54, 55], «примерно на трех страницах текста этой книги, не содержащих ни одного доказательства (с. 46—48), были высказаны идеи, которым суждено было стать основоположными в дальнейшем развитии теории функций действительного переменного». Сомнительно, однако, что Борель в 1898 г. видел важность этих идей для математики вообще и теории функций в частности. Понятие меры нужно было ему для решения конкретных задач, и после решения их он не стал заниматься проблематикой меры или теорией ?-множеств. Более того, когда в 1905 г. он возвратился к этому вопросу [29, с. 15—20], то не добавил чего-либо существенно нового, а излагая классификацию функций Бэра [29, с. 93— 100, 156—158], не заметил связи этой классификации с введенными им ?-множествами. Это говорит, в частности, о том, что проблематика функций действительного переменного не была основной в трудах Бореля, а носила вспомогательный характер.
