Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
37
вательностей в тех случаях, когда они не являлись непрерывными функциями, что и сделал Бэр.
Большое значение этой теоремы Бэра обусловливалось тем, что характеризуемый ею класс функций включает в себя наиболее употребительные функции анализа. По выражению Лузина [2, с. 75], «теорема Бэра о функциях класса 1 отличается такой красотой и настолько удобна для приложений, что ее можно считать за идеал для предложений теории функций». В [2] Бэр лишь наметил ее доказательство. Впоследствии к этой теореме обращались и он сам, и другие математики, к чему мы еще возвратимся.
В связи с выделением функций первого класса естественной была постановка следующей проблемы: однократный предельный переход по отношению к непрерывным функциям приводил к выделению интересного класса функций; что собой представляют пределы последовательностей функций этого нового класса? Другими словами, к чему приведет двукратный предельный переход всюду в применении к последовательностям непрерывных функций?
Так возникал вопрос о классификации разрывных функций, который был решен Бэром в том же году в заметке «О разрывных функциях, связанных с непрерывными функциями» [3]. Непрерывные функции он отнес в нулевой класс; функции, являющиеся пределами непрерывных, но не являющиеся непрерывными,— в первый класс; функции, представимые в виде
/W = HmM*), (1)
П-ХХІ
где fn(x) нулевого или первого класса, но не принадлежащие этим двум классам,— во второй класс, и т. д. до всех классов с' конечными номерами. В [3] Бэр ограничился указанием, что эту классификацию можно продолжить, используя трансфинитные числа, и высказал убеждение, что, каково бы ни было трансфинитное число а второго числового класса, существуют функции, принадлежащие классу с индексом а (с. 1622). Здесь же Бэр поставил вопрос о характеристике функций высших классов, подобной той, которую он установил для функций первого класса. Вопрос этот оказался значительно сложнее, и Бэру удалось лишь наметить некоторый частный результат для функций второго класса, для чего ему пришлось, однако, ввести важные теоретико-множественные понятия множеств первой и второй категорий (с. 1623).
Соображения, аналогичные развитым в заметках [2, 3], позволили вслед за тем Бэру [4] найти необходимое условие интегрируемости уравнения в частных производных:
Х(х, у)4 +У(х.У)Я- = 0,
38
более общее, чем дававшееся обычно, и состоящее в непрерывности }(х, у) по совокупности переменных (х, у). Для этой цели ему пришлось ввести в одномерном случае понятие точечно переменной относительно всякого совершенного множества функции, аналогичного понятию точечно разрывной относительно всякого совершенного множества функции (функции Бэра первого класса по классификации Бэра), и доказать теорему, что всякая непрерывная и точечно переменная относительно всякого совершенного множества функция является константой.
Все эти предварительные понятия, предложения, соображения и наметки в развернутом виде были изложены Бэром в его основной работе — диссертации «О функциях действительного переменного» [5], вышедшей из печати в 1899 г. Эта диссертация оказалась одной из важнейших вех в развитии теории функций действительного переменного. Ее значение определялось многими факторами.
Прежде всего она была полностью посвящена функциям действительного переменного, причем главным ее предметом явились разрывные функции. Изучение последних потребовало привлечения и даже обогащения идей и методов теории множеств, а результаты такого изучения выявили интерес, представляемый функциями, рассмотренными Бэром. Бэр более, чем кто-либо из его предшественников, осознал неразрывность связей теории функций и теории множеств и прямо писал об этом, подводя итоги своих исследований [5, с. 121].
Далее, многие понятия, предложения и методы Бэра, содержавшиеся в его диссертации, послужили отправными пунктами многочисленных последующих исследований (вплоть до настоящего времени). Отдельные из них, вроде понятий полунепрерывной функции, множеств первой и второй категории, колебания функции в точке и т. п., теоремы о функциях первого класса, стали классическими и входят теперь в самые элементарные руководства по теории функций.
Наряду с такими вполне осознанно сформулированными результатами, диссертация Бэра богата зародышами отдельных идей, из которых впоследствии выросли важные методы. Укажем, к примеру, использование Бэром множеств вида Щ(х)^а], E\f(x)^&\, получивших вскоре столь плодотворные применения в работах Лебега и его последователей; широкое использование принципа пренебрежения некоторыми типами множеств, особенно множеств первой категории; зачатки метода категорий, выросшего впоследствии в важный метод доказательства теорем существования, при помощи которого получены красивые теоретико-функциональные результаты1в.
По окончании диссертации Бэр задумал существенно обобщить ее основные положения. Наброски этих обобщений он из-
18 К отдельным конкретным результатам, содержащимся в диссертации Бэра, мы еще возвратимся.
