Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уже только три отмеченных момента диссертации Бореля — применение теоретико-множественных методов, доказательство теоремы о конечном покрытии, убедительный показ необходимости изучения неаналитических функций действительного переменного— давали бы право на отнесение Бореля к основоположни-
31
кам теории функций действительного переменного. Но он сделал много больше.
Очередным его шагом в создании новой теории функций явилось глубокое изучение расходящихся рядов. Как и в указанных ранее вопросах, у него были предшественники. Расходящимися рядами и их суммированием занимались многие'. Трудно сказать, в какой мере Борель был первоначально знаком со своими предшественниками. В своих ранних работах он ссылался лишь на Пуанкаре и Стилтьеса в связи с изучением последними асимптотических разложений и лишь в конце первого своего фундаментального труда по расходящимся рядам [8] отметил, что во время, когда этот мемуар находился в печати, он ознакомился с одной заметкой Пинкерле и мемуаром Паде, связанных с расходящимися рядами. Скорее всего, он пришел к идее суммирования рядов независимо. Оснований у него для этого было достаточно, и опять-таки эти основания базировались на его исследованиях по теории функций комплексного переменного.
В своей первой работе по расходящимся рядам [5], в которой он ввел экспоненциальный метод суммирования, он сразу же предложил применить его для аналитического продолжения функций, а это — одна из основных проблем, занимавших его еще в диссертации. Постоянное обращение к теории функций комплексного переменного — вообще характерная черта почти всех работ Бореля по расходящимся рядам.
Специально экспоненциальному методу суммирования Борель посвятил уже упоминавшуюся работу «Основы теории расходящихся суммируемых рядов» [8]8. Здесь он показал, что на суммируемые ряды распространяются многие предложения о сходящихся рядах, особенно подчеркнул, что расходящиеся суммируемые ряды являются столь же законным объектом изучения, как и сходящиеся, что при помощи его метода можно находить численные значения некоторых расходящихся функциональных рядов и что эти ряды имеют важные применения. В частности, он доказал, что ряд аналитических функций, равномерно суммируемый в области, имеет суммой аналитическую функцию [8, с. 142, 143]. Он установил также, что если равномерно суммируемый в некоторой односвязной области ряд сходится равномерно в некоторой порции области, то его сумма является той же самой аналитической функцией во всей области [8, с. 144]. Тем самым появлялась возможность производить аналитическое продолжение функции при помощи его метода суммирования.
В указанной работе Борель лишь намекнул на то, что можно ввести и интегральный метод суммирования [8, с. 136, 138], но не стал здесь говорить о нем.
См, например, Туччьяроне [1].
Мы не будем описывать содержания метода, отослав читателя к книге Хар-ди [1, с. 10, 229] или статье Туччьяроне [1, с. 16].
32
В примыкающих к мемуару [8] заметках [6, 7, 9, 10] и статьях [11, 12] Борель уточнил и развил идеи этого мемуара. В частности, в заметке «Приложения теории расходящихся рядов» [7] он показал, что его экспоненциальный метод суммирования применим к некоторым видам асимптотических разложений, рассматривавшихся Стилтьесом и Пуанкаре. Особо отметим заметку «Об области суммируемости разложения Тейлора» [9], которая была опубликована в 1896 г. и в которой был введен важный метод аналитического продолжения функции путем построения борелевского многоугольника суммируемости9.
Несомненно, работы Бореля по расходящимся рядам способствовали еще большему привлечению внимания математиков к этой области исследований. Видимо, не без воздействия изысканий Бореля Академия наук Франции в 1896 г. объявила конкурс на лучшую работу по изучению роли расходящихся рядов в анализе, предназначив победителю «Большую премию по математическим наукам» за 1898 г.10 Естественно, что сам Борель откликнулся на этот конкурс, представив большой «Мемуар о расходящихся рядах» [15, 16], за который ему и была заслуженно присуждена премия. В этом мемуаре Борель расширил и углубил свои предшествующие результаты; здесь, в частности, был введен и применен в разных вопросах и борелевский интегральный метод суммирования14, почти равносильный экспоненциальному методу, но удобный при изучении ряда новых вопросов.
Борель продолжал свои исследования по расходящимся рядам и после, о чем будет сказано несколько далее. Вместе с тем в рассматриваемый период он занимался и другими вопросами. Очень важным из них является вопрос о мере точечных множеств.
Мы уже говорили, что еще в диссертации Борель столкнулся с необходимостью заключения точечного множества в счетное множество интервалов. Однако тогда он не дошел до идеи обобщения понятия меры. С аналогичной ситуацией — и опять-таки в теории функций комплексного переменного — он встретился и в 1898 г. [14], когда ему потребовалось дать метрическую характеристику некоторых точечных множеств. Здесь он воспользовался идеей заключения множества в счетное множество интервалов для введения важнейшего понятия теории множеств и функций, да и вообще одного из основных математических понятий — понятия множества, измеримого (В), заложив основы теории бо-релевской меры. Нам нет нужды подробно останавливаться на этом, так как данные вопросы не раз обсуждались в историко-на-учной литературе. В частности, те вопросы, в которых появилась
