Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с этими, принадлежащими по своей форме классическому анализу, или теоретико-функциональными, но разроз-
25 См. Паплаускас [1, с. 68—74, 139—140, 241—242]. О вкладе Пуассона в метод суммирования Абеля см. Туччьяроне [1, с. 3].
26 См. Борель [21, с. 55—56].
27 См. Дюгак [1].
28 Югоньо [1]. Его в этом несколько опередил Гарнак, чего Югоньо не знал.
29 См. Пинкерле [1, с. 785].
19
ненными, результатами, имелись и более систематические исследования по теории функций.
Здесь, прежде всего, необходимо остановиться на нескольких работах одного из крупнейших французских математиков — Гастона Дарбу. Самой важной из них для развития теории функций был, несомненно, его «Мемуар о разрывных функциях» [1], опубликованный в 1875 г. Этот мемуар в целом можно охарактеризовать как классическое математическое произведение, не столь уж частое в математической литературе, в котором соединены совершенная четкость и строгость (разумеется, уровня 70-х годов прошлого столетия) и которое дало ясные ответы на многие вопросы того времени, опровергло многочисленные распространенные тогда заблуждения.
Начинается он с определения произвольной функции. Затем вводится понятие непрерывной функции; дается определение и доказывается существование точных верхней и нижней граней значений функции на интервале; проводится различие между конечностью и ограниченностью с соответствующим простым H вместе с тем совершенно убедительным примером. Доказывается, что непрерывная па сегменте функция принимает все промежуточные значения, заключенные между двумя заданными ее значениями, и вместе с тем указывается (с соответствующим примером), что это свойство непрерывной функции, принимавшееся порой за самое ее определение, не является характеристическим для нее, ибо существуют разрывные функции, обладающие тем же свойством (получившим впоследствии наименование' свойства Дарбу). Доказывается также, что непрерывная функция принимает свои максимальное и минимальное значения на сегменте. Сформулирован и доказан ряд основных свойств интеграла Римана 30. Введены понятия абсолютно и условно сходящихся рядов и изучено понятие равномерной сходимости; установлено, что равномерно сходящийся ряд непрерывных функций имеет суммой непрерывную же функцию, и вместе с тем на примере продемонстрировано, что условие равномерной сходимости для непрерывности суммы лишь достаточно. Установлены достаточные условия почленного дифференцирования рядов. Большое внимание уделено построению примеров непрерывных функций, не имеющих производной на том или ином множестве значений аргумента, а также примерам разрывных, но интегрируемых по Риману функций.
Не все введенные Дарбу понятия и доказанные теоремы были новыми. Изложенные, однако, строго и систематически, более четко и общо, они вскоре стали общим достоянием математиков, а позднее вошли во все солидные курсы анализа.
Другой важной для развития теории функций работой Дарбу была его статья «Добавление к мемуару о разрывных функ-
O вкладе Дарбу в изучение интеграла Римана см Медведев [2, с 196—199].
20
циях» [3], появившаяся в 1879 г., в которой построен бесконечный класс непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке. Правда, в этом его опередил Дини, но и статья Дарбу имела немаловажное значение для крушения укоренившегося в то время предрассудка, что всякая непрерывная функция дифференцируема всюду, за исключением отдельных значений аргумента. Некоторые примеры недифференцируемых функций, данные Риманом и Вейерштрассом, до этого еще могли рассматриваться как досадные исключения; после результатов Дини и Дарбу эти исключения уже нельзя было игнорировать.
Наконец, третьей работой Дарбу является «Мемуар об аппроксимации функций от очень больших чисел и об одном широком классе разложений в ряды» [2], вышедший в свет в 1878 г. Здесь он, отталкиваясь от идей Лапласа, развил метод асимптотических оценок членов разложения функции по весьма общим ортогональным многочленам и воспользовался им для исследования таких разложений.
Достижения Дарбу в теории функций существенно умаляются в одном отношении. Годы появления его перечисленных работ характеризовались в истории теории функций все возрастающими применениями теоретико-множественного метода (Ганкель, Кантор, Дюбуа-Реймон, Смит, Дини и др.)3|. Дарбу не захотел или не сумел увидеть в этом методе важного инструмента исследования свойств функций. К тому же вскоре он переключился на другие области исследований (геометрия и теория дифференциальных уравнений в частных производных), а его изыскания в теории функций остались изолированным эпизодом в его научной деятельности. Более того, на рубеже веков он перешел в стан недоброжелателей рассматриваемой нами научной дисциплины, когда его молодые соотечественники начали поднимать ее на новую ступень развития.
В создании благоприятных условий для начала творчества Бореля, Бэра и, особенно, Лебега большую роль сыграли труды по теории функций другого большого французского ученого — Камилла Жордана, соединившего четкость стиля Дарбу с теоретико-множественным методом. Его результаты в анализе и теории функций стали тем фундаментом, на который опирались создатели нового периода теорий функций, а его поддержка начинаний молодых исследователей помогла им выдержать нападки. Введение и первые шаги в изучении важнейшего класса функций действительного переменного — функций с ограниченным изменением [1]; рассмотрение вслед за Пеано основного для XIX в. определения меры точечных множеств, а главное — установление связи этого понятия с другими понятиями теории функций, особенно с понятием интеграла [2]32; новая концепция кривой линии
