Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
it
41
Если параметрическое представление поверхности 5 задано
ФУНКЦИЯМИ X = X(U, V), y = y(U, V), Z = Z(U, V), U1Z^iUzSiU?,
V1ZSiVz^iV2, и эти функции имеют непрерывные производные первого порядка, то площадь A(S) поверхности 5 выражается формулой
U1 V1
Формулы (1), (2) порой и принимались за определения соответственно длины кривой и площади криволинейной поверхности.
Неудовлетворительность этого подхода проистекала из того, что геометрическим понятиям длины и площади отказывалось в самостоятельном существовании, вне зависимости от их аналитического одеяния (1) и (2). Между тем в XIX в. располагали достаточно общим представлением о функции, чтобы обнаружить существование таких функций, для которых интегралы (1) или (2) не существовали. Объявлять, что в этом случае не имеет смысла говорить о длине или площади поверхности, было бы слишком рискованно: история свидетельствовала, что геометрические объекты существовали и изучались обычно задолго до того, как им удавалось дать соответствующее аналитическое выражение.
Второй подход состоял в том, что длину кривой (площадь поверхности) определяли как предел длин вписанных в нее ломаных (площадей вписанных многогранных поверхностей), если каждый из элементов вписанной фигуры (длина звена ломаной, диаметр грани поверхности) стремится к нулю. Неудовлетворительный даже в случае длины кривой, этот подход в случае площади криволинейной поверхности оказался совершенно непригодным, как это показал известный пример Шварца поверхности цилиндра вращения, когда предел многогранных поверхностей, вписанных в столь простую геометрическую фигуру, просто не существует20. К тому же такое определение предполагало установление способа вычисления длины или площади; Шеффер же в 1889 г. показал, что существуют кривые с конечными длинами в смысле подобного определения, для которых интеграл (1) не существует.
Таким образом, перед математиками вставало несколько связанных друг с другом задач: дать определения длины кривой и площади поверхности, а также связать эти определения с формулами типа (1), (2) при надлежащем обобщении понятия интеграла.
Если в отношении понятия длины кривой вопрос был в известном смысле решен исследованиями Шеффера и Жордана (хотя из них, как упоминалось, вытекала необходимость обобщения
Об этом примере см, например, Фихтенгольц [1, с. 248—251].
42
понятия интеграла), то с площадью поверхности дело обстояло неудовлетворительно21. После появления примера Шварца и вслед за тем аналогичного примера Пеано предлагались различные варианты определений второго типа. Так, например, площадь поверхности определялась как предел площадей вписанных в эту поверхность многогранных поверхностей, когда их грани бесконечно уменьшаются по всем направлениям так, что углы этих граней не стремятся к нулю; вместо Ограничения, налагаемого на углы граней, требовали также стремления к нулю углов, образованных гранями с рассматриваемой поверхностью, и т. д. Однако такие ограничения искусственны в том отношении, что совершенно неочевидно, что при других простых ограничениях на грани вписываемых поверхностей не будет получаться другой предел.
Этот комплекс вопросов и составил предмет указанных выше заметок Лебега, а также его диссертации [8]. Первая из' них [3] не имеет прямого отношения к описанным проблемам. В ней был введен класс поверхностей, наложимых на плоскость, более широкий, чем рассматривавшиеся обычно до этого. Вместе с тем она любопытна тем, что отправным пунктом для ее появления явилось, как вспоминает Монтель, юношеское открытие Лебега, иллюстрируемое скомканным листом бумаги, который он показывал своим однокашникам22. И хотя трудно согласиться с Монтелем, что именно оно привело Лебега к открытию своего интеграла, так как к последнему было много путей, тем не менее, видимо, верно то, что это событие сыграло определенную роль к пробуждению интереса Лебега к понятию поверхности вообще, а в связи с этим и к понятию интеграла. Действительно, вслед за заметкой [3] появляются его заметки [4, 5], где вводится знаменитое лебеговское определение площади поверхности, которое коротко можно описать так23.
Пусть S — поверхность, задаваемая функциями х=х(и, v), у=у(и, V), z = z(u, V), «!^«^«г, и4^и<и2. Пусть, далее, непоследовательность многогранников, вписанных в S или описанных вокруг нее, которая стремится к S в том смысле, что функции хп=хп(и, V), уп=уп(и, V), zn=zn(u, V), задающие многогранники последовательности п„, равномерно стремятся к функциям х=х(и, v), у=у(и, V), z=z(u, v), задающим поверхность S. Тогда площадь A (S) поверхности 5 определяется формулой
A(S)=MlJmA(Xn),
где А(пп) — площадь поверхности многогранника п„, а нижняя грань берется по всем последовательностям многогранников.
21 Неудовлетворительно оно н в настоящее время, несмотря на усилия очень большого числа математиков.
22 См. Данжуа, Феликс, Монтель [1, с. 13—14]. Эту иллюстрацию Лебег привел в заметке [3, с. 1505].
23 См. Радо [1, с. 141].
