Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
ab = {q+h) (p+h)=pq+ph+qh+h2,
откуда
pq+h2 = 0.
А так как р и q направлены в противоположные стороны, то
h2=p.q,
где, как обычно, через р, q, h обозначены длины векторов /?, q, ft. Итак, нами снова доказана теорема о квадрате высоты прямоугольного треугольника.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПИФАГОРОВА РАВЕНСТВА
1. При вычислении одних геометрических величин с помощью других на основании равенства Пифагора
а2 + Ъ2 = с2
мы сразу же сталкиваемся с квадратными радикалами. Начнем с одного важного замечания, относящегося к
этим радикалам. Ясно, что такие выражения, как ]/2
или ")/3, не могут быть целыми числами. Но не будут ли они дробными? Чтобы сразу же исключить подобное предположение, рассмотрим, например, |/2 . Предположим, что
где дробь Y несократима. Возведя обе части равенства в квадрат и освобождаясь от знаменателя, получим
откуда следует, что р— четное число. Но тогда р2 делится на 4. Сократив обе части на 2, замечаем, что д2, а следовательно, и q также четны. Но это противоречит предположению, что дробь несократима. <Вообще, если корень
квадратный из целого числа не есть целое число, то он не может быть и рациональной дробью.У
Упражнение 39. Докажите, что Уз не может равняться
дроби Y.
2. Сейчас мы собираемся привести некоторые примеры вычислений с помощью теоремы Пифагора. При этом мы далеки от того, чтобы пытаться составить обстоятельный или в каком-либо смысле полный перечень всех случаев, в которых наше предложение находит практические приложения,— это вообще вряд ли было бы возможно. Если игнорировать тригонометрию, то область применения
пифагорова равенства вообще не может быть указана с достаточной полнотой.
Здесь мы не будем решать такие задачи, какие решал некий профессор математики из юмористического журнала. Этому профессору предложили кровать, которая оказалась ему мала. Профессор измерил ее длину а и ширину Ь, установил при помощи вычисления с точностью до миллиметров, что его собственная длина меньше, чем У а2 + б2, и тогда, убежденный в пользе математики вообще и теоремы Пифагора в частности, лег на свою кровать по диагонали.
3. Воспользуемся прежде всего возможностями, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых известных нам фигур.
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d2 = 2a2, откуда:
d=V2a.
Упражнение 40. В стандартных форматах чертежных листов ширина относится к длине так, как сторона квадрата относится к его диагонали. Ширина листа равна 420 мм. Найдите его длину.
Упражнение 41. Из листа данного формата получают 2 листа меньшего формата, деля большую сторону его пополам. Составьте перечень стандартных форматов, исходя из листа размером 841X1188.
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и Ъ вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и Ъ.
Мы имеем
d2=a2 + b2
и, следовательно,
d^ya^+b2.
Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет у (понят-
но, что вместо «высота» в данном случае можно сказать «биссектриса», или «медиана», или «перпендикуляр, восставленный к стороне в ее середине»). Таким образом, имеем
или
Отсюда вытекает
/г=у]/3а.
Еще один последний пример из планиметрии! На рис. 57 изображена трапеция ABB'А' с двумя прямыми углами при вершинах А и В. Пусть AA' = а, BB'=Ъ, АВ=с и А'В'=с. В этом случае иногда говорят, что отрезок AB является проекцией отрезка А 'В'. Напишем два выра- а жения для сторон с же через остальные стороны. Прямая А'С, проведенная через А' параллель- А но А В, отсекает прямоугольный треугольник A'CB', гипотенуза которого равна с, а катеты с и (Ь—а). Таким образом,
с' = ус*+(Ь — а)2
и
C=Vc'2 —(Ь —а)2.
Пользуясь этими формулами, можно находить отрезок по его проекции на прямую, и наоборот, если при этом известна разность Ь—а расстояний концов отрезка от прямой.
4. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией; мы сейчас перейдем к пространственным телам и рассмотрим
некоторые простейшие из них. На рис. 58 изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника
служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось в предыдущем пункте, длина этой диагонали равна ]/2а). Отсюда имеем
d*=a*+(V2a)\
d2=a2 + 2a2 = 3a2
Рис. 58.
и, окончательно,
d=V3a.
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для плиты (прямоугольного параллелепипеда) с ребрами а, Ъ и с и получить для диагонали выражение
d=]/a2 + b2+c2.
Упражнение 42. Докажите последнюю формулу для длины диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильная четырехугольная пирамида). Пусть сторона квадрата а, а высота пирамиды h. Чему равна длина s боковых ребер пирамиды? — Вот наш первый вопрос. Эти ребра (рис. 59) будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов — высота h, а другой — половина диагонали квадрата, т.е. ~У2а. Вследствие этого имеем:
