Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Теорема Пифагра" -> 13

Теорема Пифагра - Литцман В.

Литцман В. Теорема Пифагра — Государственное издательство, 1960. — 114 c.
Скачать (прямая ссылка): teorema-pifagora.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 33 >> Следующая


а-\-Ъ-\-с где P=-?-'

7. Все предшествующие рассуждения не выходили за рамки так называемой «метрической геометрии», в основе которой лежит понятие равенства. Можно стать и на другую точку зрения и рассматривать ранее изложенные факты, взяв за основу понятие группы движений. Поясним вкратце суть дела. Вместо того, чтобы доказывать равенство площадей двух фигур, можно просто совместить эти фигуры; подобное совмещение достигается с помощью двия^еиия. Два последовательных движения можно заменить одним и для всякого движения можно

Рис. 43.

указать обратное ему движение; поэтому движения образуют группу *).

Евклид крайне осторожен в применении движений; там, где можно без них обойтись, он избегает ими пользоваться (правда, ему это не всегда удается). В противоположность Евклиду современная методика преподавания охотно привлекает понятие движения для доказательств и этим усиливает элементы наглядности в геометрических рассуждениях и подчеркивает связь этой науки с опытом.

В нашем изложении мы попутно отмечали встречающиеся нам движения. Это были, прежде всего, некоторые частные типы движений: параллельные переносы, которые явственно усматриваются на рис. 16—17 и 42; вращения, в частности вращения на угол 90°, как на рис. 39 и 40, и на угол 180° (центральная симметрия), как на рис. 26. Центральную симметрию можно найти также и на рис. 18 или 30.

Параллельные переносы и вращения образуют группу, составленную всеми движениями, которые можно осуществить, не выходя за пределы плоскости. В случае же осевой симметрии нам приходится привлекать пространственные соображения — без этого нельзя осуществить совмещение симметричных частей. На наших рисунках мы встречались и с такими движениями; взятые сами по себе (без вращений и параллельных переносов) они не образуют группы.

Читателю можно посоветовать самостоятельно провести другим путем некоторые из встречавшихся ранее доказательств теоремы Пифагора, шире используя движение для сравнения площадей фигур.

8. В заключение этой главы затронем еще один вопрос: как обстоит дело с обоснованием теоремы Пифагора, если ее выделить из всей логической системы математических предложений и рассматривать исключительно как результат физического эксперимента, например, как результат проверки, осуществляемой для всевозможных

*) По поводу затронутых здесь и далее вопросов см., например, И. М. Я г л о м, Геометрические преобразования, I, II, M., 1955—1956 гг.; см., в частности, Введения к первой, второй и третьей частям этой книги.

прямоугольных треугольников. Проще всего поступить так: начертить возможно точнее несколько прямоугольных треугольников, измерить их стороны со всей доступной нам точностью и убедиться, что а2 + Ъ2 = с2. Если же хотят сравнить самые квадраты, то можно начертить их на бумаге с миллиметровыми делениями (так называемой «миллиметровке») и сосчитать число квадратных миллиметров в каждом из квадратов. Можно также начертить квадраты на плотной, по возможности однородной бумаге, вырезать их, и затем, взвесив эти квадраты на точных весах (например, на таких, на которых взвешивают письма, если не найдется лучших), установить, что квадраты, построенные на катетах, вместе весят ровно столько же, сколько квадрат,построенный на гипотенузе.

Разумеется, все эти измерения никогда не смогут полностью доказать нашу теорему. Кроме того, неудобства, что мы не можем охватить подобными измерениями все прямоугольные треугольники, сами измерения связаны с неизбежными ошибками, величина которых зависит от искусства лица, производящего измерения, точности чертежных и измерительных инструментов и т. п. <Лишь дедуктивный вывод теоремы Пифагора вроде доказательства Евклида или доказательства методом разложения убеждает нас, что выражаемое ею соотношение совершенно точно выполняется во всех случаях.)

§ І. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И УЧЕНИЕ О ПОДОБИИ

1. В прямоугольном треугольнике ABC проведем из вершины прямого угла высоту CD] тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными (рис. 44). Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия: A D В

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам дру- Рис. 44.

гого, то такие треугольники подобны.

В самом деле, сразу видно, что, кроме прямого угла, треугольники АБС ж ACD имеют общий угол a, а тре-

угольники CBD и ABC-общий угол (3. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.

Так как в подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, то из подобия исходного треугольника и треугольника ACD следует

ADiAC=ACiAB9

или, что то же,

AC2^AD-AB.

Пользуясь терминами теории пропорций, это можно выразить так:

В прямоугольном треугольнике каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed