Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Теорема Пифагра" -> 22

Теорема Пифагра - Литцман В.

Литцман В. Теорема Пифагра — Государственное издательство, 1960. — 114 c.
Скачать (прямая ссылка): teorema-pifagora.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 33 >> Следующая


Построим изогипсы для высоты 10, измеренной в тех же единицах, что и х и у. Для всех точек этой кривой, вид которой нам пока неизвестен, ?^10. Таким образом, все

точки ее удовлетворяют уравнению

откуда

10 = Ух2+г/ или \00=х2-\-у2

У=УЮ0 — х2.

О

Pi

Рис. 68.

Как мы знаем из предыдущего пункта, точки хну основной плоскости, удовлетворяющие этому уравнению, лежат на окружности (точнее, на четверти окружности) радиуса 10. Если мы из точек окружности восставим перпендикулярные к ее плоскости отрезки длиною 10, то верхние концы этих отрезков образуют также окружность. То, что мы доказали для одной из изогипс, будет справедливо и для остальных: все они — окружности, или, точнее говоря, четверти окружностей. Самая низкая точка нашей поверхности лежит в начале координат, так как при х=0 и у=0 имеем 2=0. Если же мы в основной плоскости будем удаляться от начала координат, то и высота точек поверхности над нею будет возрастать. Следовательно, поверхность представляет собою четверть некоторого кратера, вырезанную плоскостями zy и zx.

Всего того, что мы узнали до сих пор, еще недостаточно для выяснения вида поверхности. Возникает вопрос, каков скат этого кратера, меняется ли угол его наклона или остается постоянным? И если он остается постоянным, то какова его величина?

Через точку 0=(0,0) основной плоскости проведем луч и отметим на нем ряд точек P1, P2, Рз,.-- Восставим над этими точками перпендикуляры к основной плоскости до пересечения в точках Р{, P2', А> -..с нашей поверхностью. Проведем через луч перпендикулярно к основной плоскости секущую плоскость, в которой находятся перпендикуляры P1Pi, P2P2, Р$Ръ, • • • Линия OP[P2Pz пересечения этой плоскости с нашей поверхностью (рис. 68) дает нам представление о скате

кратера. Она показывает, что угол наклона остается постоянным, причем в силу того, что треугольники OP1Pl, OPt1Pl1,... прямоугольные и равнобедренные, этот угол равен 45°. То, что справедливо для одного луча, проходящего через точку О, будет справедливо и для всех остальных лучей нашей основной плоскости, проходящих через точку О. Таким образом, поверхность в каждой своей точке имеет одинаковый скат с углом наклона 45°.

Какая же это все-таки поверхность? Она нам хорошо известна! Это четвертая часть боковой поверхности обычного конуса. Его осью является ось z; он расположен вершиной вниз и опирается ею на основную плоскость в начале координат; половина угла при вершине равна 45°. Мы можем себе представить, что он образован вращением биссектрисы угла xOz вокруг оси z (рис. 69).

7. Подобным же образом можно найти выражение катета z как функции гипотенузы х и катета у в виде

Z = Yx2—у2.

Теперь нам нужно отыскать поверхность, являющуюся геометрическим образом этой функции. Прежде всего, эта поверхность обладает тем свойством, что при X=у, т. е. в точках биссектрисы угла между координатными ося-рис. eg. ми, все значения z равны ну-

лю; следовательно, поверхность пересекает основную плоскость по этой биссектрисе. Над половиной квадранта, заключенной между биссектрисой и осью у, точек нашей поверхности нет вовсе, так как для всех точек этой области у>х, и поэтому подкоренное выражение отрицательно.

Мы не будем подробно исследовать эту поверхность, а прямо сообщим результат, предоставляя вывод его читателю. Искомой поверхностью является четвертая часть

боковой поверхности конуса, у которого половина угла при вершине равна 45° (как и в предыдущем случае), но осью служит ось х. Проще всего представить себе, что эта поверхность получилась от вращения вокруг оси х биссектрисы угла между осью х и осью у.

Упражнение 52. Исследуйте изогипсы этой поверхности. Какие высоты х соответствуют точкам оси х. Исследуйте значения z, соответствующие какой-либо прямой, перпендикулярной оси х. Каким путем можно узнать, что половина угла при вершине конуса равна 45°?

Если бы через х мы обозначили катет, а не гипотенузу, а через у гипотенузу, а не катет, то получили бы такую же коническую поверхность, как и в предыдущем случае с той лишь разницей, что осью вращения была бы ось у.

Упражнение 53. Перестановке переменных х и у в пространстве соответствует зеркальное отражение от некоторой плоскости. Что это за плоскость?

8. Читатель, знакомый не только с встречавшимися нам окружностью, гиперболами и конусом, а и с другими кривыми и поверхностями, может отметить в качестве недостатка изложения то, что мы всюду рассматривали только части кривых и поверхностей, вместо того, чтобы брать их как целое.

До сих пор мы считали величину отрезка положительной, и поэтому х, у и z могли принимать только положительные значения. Если же рассматривать выражения, которые мы получали из теоремы Пифагора, просто как соотношения между числами (а не длинами), то, например, в равенстве

z2=x2+y2,

с которым мы встречались в п. 6, все три переменных величины могут принимать и отрицательные значения, так как их квадраты будут всегда положительны; таким образом, ограничение, накладываемое на знак, можно отбросить. Выполнив соответствующие вычисления и отразив результаты их на графиках, мы дополним кривые до полных окружностей и гипербол, а часть конической поверхности до целой.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed