Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Теорема Пифагра" -> 14

Теорема Пифагра - Литцман В.

Литцман В. Теорема Пифагра — Государственное издательство, 1960. — 114 c.
Скачать (прямая ссылка): teorema-pifagora.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 33 >> Следующая


В терминах теории площадей это равенство выражает факт, который используется в евклидовом доказательстве, а именно:

Квадрат, построенный на катете прямоугольного треугольника, равновелик прямоугольнику, стороны которого равны гипотенузе треугольника и отрезку гипотенузы, прилежащему к рассматриваемому катету.

Аналогичное равенство, относящееся к другому катету, имеет вид

BC2=DB-AB.

Сложив оба равенства, получим

AC2+BC2=AD -AB+BD •AB = AB (AD +BD)=AB2.

Так мы пришли к совсем простому доказательству теоремы Пифагора, основанному на теории подобия. Оно встречается у индуса Б а с х а р а (род. в 1114 г. н. э.) и затем у Леонарда П и з а н с к о г о (в Ргасйса geometriae, 1220 г.); позднее оно вновь было независимо найдено английским математиком Валлисом (1616— 1703, Оксфорд); <ныне оно также включается почти во все учебники элементарной геометрии).

Упражнение 32. Проведите самостоятельно другое доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С. Из точки Л, как из центра, опишем окрущ-

ность радиуса Ь; точки ее пересечения с гипотенузой и с продолжением гипотенузы обозначим через DmE (рис. 45). Из подобия треугольников BCD и ВСЕ вытекает:

а\(с — — (с-\-Ъ):а,

а из нее следует теорема Пифагора. Можно сослаться также на теорему о квадрате касательной, которая сразу дает

а2=(с+Ь) (с — Ь).

Рис. 45.

2. Представим себе, что треугольник ACD, изображенный на рис. 44, симметрично отражен от катета АС, треугольник DBC — от катета CB и треугольник CAB — от гипотенузы AB (рис. 46). Фигура, которая образуется при этом, отличается от фигуры, часто встречавшейся в прежних доказательствах, тем, что в ней на сторонах исходного треугольника построены не квадраты, а прямоугольные треугольники, подобные друг другу. Так же как там сумма площадей квадратов, построенных на катетах, была равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, так и здесь сумма площадей треугольников, построенных на катетах, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе; это сразу вытекает из самого способа получения фигуры (ср. рис. 46 и рис. 44).

Возникает вопрос, можно ли, кроме квадратов и этих специально подобранных прямоугольных треугольников, построить какие-нибудь другие фигуры Fa, Fb и Fc на катетах а и Ъ и на гипотенузе с прямоугольного треугольника так, чтобы площади этих фигур (которые мы обозначим теми же буквами, что и сами фигуры) удовлетворяли соотношению

Fa+Fb = Fc.

Рис. 46.

Ясно, что это соотношение не имеет места для совершенно произвольных фигур. Мы докажем, однако, следующее предложение:

Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fа, Fb и F с, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство

Fa+Fb=Fc.

Эта теорема встречается уже у Евклида (в 6 книге его «Начал») и, вероятно, открыта им самим. Об этом свидетельствует П р о к л, который одновременно указывает, что еще в древности этой форме теоремы Пифагора отдавалось предпочтение перед другими, поскольку она отражает самую суть дела. Прокл говорит: «Я восхищаюсь теми, которые первыми достигли истины в этой проблеме: однако еще выше я ставлю творца «Начал» не только потому, что он снабдил теорему самым сжатым доказательством, но также и потому, что еще более общую проблему, содержащуюся в шестой книге, он установил на неопровержимых основах науки».

3. Для доказательства нашего предложения мы воспользуемся следующей теоремой из теории подобия, встречающейся в каждом учебнике элементарной геометрии:

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Если через Fа, Fb, F0 обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах а и Ъ и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:

Fa:Fb:Fc=a*:b*:c\

Эта пропорция означает, что можно найти число к (называемое коэффициентом пропорциональности) такое, что

F=ka\ Fb=kb\ Fc = kc\

Умножив обе части равенства

а2+Ь2=с2

на к и принимая во внимание предыдущие равенства, получим

Fa+Fb=Fc.

<Остановимся здесь немного подробнее на вопросе о связи этого обобщения теоремы Пифагора с самой теоремой. Мы видели, что более общее равенство

Fa-VFb=Fc

вытекает из равенства Пифагора

a2+ 62-с2;

обратно, ясно, что если при любых подобных между собой многоугольниках F а, Fb и Fc, построенных на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, справедливо соотношение Fа + Fb—Fc, то оно имеет место и для построенных на сторонах треугольника квадратов. Таким образом, общая теорема равносильна своему частному случаю (теореме Пифагора).

Замечательно при этом, что любой частный случай этой общей теоремы равносилен самой теореме, а следовательно, и теореме Пифагора. В самом деле, если равенство

Fa+Fb=Fe

имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC так, что АС, ВС и AB суть сходственные отрезки этих многоугольников, то
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed