Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
В терминах теории площадей это равенство выражает факт, который используется в евклидовом доказательстве, а именно:
Квадрат, построенный на катете прямоугольного треугольника, равновелик прямоугольнику, стороны которого равны гипотенузе треугольника и отрезку гипотенузы, прилежащему к рассматриваемому катету.
Аналогичное равенство, относящееся к другому катету, имеет вид
BC2=DB-AB.
Сложив оба равенства, получим
AC2+BC2=AD -AB+BD •AB = AB (AD +BD)=AB2.
Так мы пришли к совсем простому доказательству теоремы Пифагора, основанному на теории подобия. Оно встречается у индуса Б а с х а р а (род. в 1114 г. н. э.) и затем у Леонарда П и з а н с к о г о (в Ргасйса geometriae, 1220 г.); позднее оно вновь было независимо найдено английским математиком Валлисом (1616— 1703, Оксфорд); <ныне оно также включается почти во все учебники элементарной геометрии).
Упражнение 32. Проведите самостоятельно другое доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С. Из точки Л, как из центра, опишем окрущ-
ность радиуса Ь; точки ее пересечения с гипотенузой и с продолжением гипотенузы обозначим через DmE (рис. 45). Из подобия треугольников BCD и ВСЕ вытекает:
а\(с — — (с-\-Ъ):а,
а из нее следует теорема Пифагора. Можно сослаться также на теорему о квадрате касательной, которая сразу дает
а2=(с+Ь) (с — Ь).
Рис. 45.
2. Представим себе, что треугольник ACD, изображенный на рис. 44, симметрично отражен от катета АС, треугольник DBC — от катета CB и треугольник CAB — от гипотенузы AB (рис. 46). Фигура, которая образуется при этом, отличается от фигуры, часто встречавшейся в прежних доказательствах, тем, что в ней на сторонах исходного треугольника построены не квадраты, а прямоугольные треугольники, подобные друг другу. Так же как там сумма площадей квадратов, построенных на катетах, была равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, так и здесь сумма площадей треугольников, построенных на катетах, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе; это сразу вытекает из самого способа получения фигуры (ср. рис. 46 и рис. 44).
Возникает вопрос, можно ли, кроме квадратов и этих специально подобранных прямоугольных треугольников, построить какие-нибудь другие фигуры Fa, Fb и Fc на катетах а и Ъ и на гипотенузе с прямоугольного треугольника так, чтобы площади этих фигур (которые мы обозначим теми же буквами, что и сами фигуры) удовлетворяли соотношению
Fa+Fb = Fc.
Рис. 46.
Ясно, что это соотношение не имеет места для совершенно произвольных фигур. Мы докажем, однако, следующее предложение:
Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fа, Fb и F с, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство
Fa+Fb=Fc.
Эта теорема встречается уже у Евклида (в 6 книге его «Начал») и, вероятно, открыта им самим. Об этом свидетельствует П р о к л, который одновременно указывает, что еще в древности этой форме теоремы Пифагора отдавалось предпочтение перед другими, поскольку она отражает самую суть дела. Прокл говорит: «Я восхищаюсь теми, которые первыми достигли истины в этой проблеме: однако еще выше я ставлю творца «Начал» не только потому, что он снабдил теорему самым сжатым доказательством, но также и потому, что еще более общую проблему, содержащуюся в шестой книге, он установил на неопровержимых основах науки».
3. Для доказательства нашего предложения мы воспользуемся следующей теоремой из теории подобия, встречающейся в каждом учебнике элементарной геометрии:
Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Если через Fа, Fb, F0 обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах а и Ъ и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:
Fa:Fb:Fc=a*:b*:c\
Эта пропорция означает, что можно найти число к (называемое коэффициентом пропорциональности) такое, что
F=ka\ Fb=kb\ Fc = kc\
Умножив обе части равенства
а2+Ь2=с2
на к и принимая во внимание предыдущие равенства, получим
Fa+Fb=Fc.
<Остановимся здесь немного подробнее на вопросе о связи этого обобщения теоремы Пифагора с самой теоремой. Мы видели, что более общее равенство
Fa-VFb=Fc
вытекает из равенства Пифагора
a2+ 62-с2;
обратно, ясно, что если при любых подобных между собой многоугольниках F а, Fb и Fc, построенных на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, справедливо соотношение Fа + Fb—Fc, то оно имеет место и для построенных на сторонах треугольника квадратов. Таким образом, общая теорема равносильна своему частному случаю (теореме Пифагора).
Замечательно при этом, что любой частный случай этой общей теоремы равносилен самой теореме, а следовательно, и теореме Пифагора. В самом деле, если равенство
Fa+Fb=Fe
имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC так, что АС, ВС и AB суть сходственные отрезки этих многоугольников, то