Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Начнем с первого вопроса. Один из катетов, который принимается за независимое переменное, мы обозначим через х, гипотенузу — через у, другой катет, который считается постоянным, обозначим через а. В нашем примере мы положим эту величину равной четырем каким-либо единицам длины, скажем, 4 см.
По теореме Пифагора имеем
у2—х2-\-а2,
откуда после извлечения корня получим: у=Ух2+а2.
Отрицательного значения корня мы не принимаем во внимание, так как длина отрезка не может быть отрицательной.
Теперь для каждого х можно вычислить соответствующее значение у.
Мы получим следующую таблицу:
X =
1,
У=
=]/Ї7=4,123;
X =
У=
{/20=4,472;
X =
з,
У=
1/25=5,000;
X =
4,
У=
: {/32=5,657;
X =
5,
У=
=1/41=6,403;
<Эти квадратные корни можно вычислить по известным правилам; проще, однако, сразу выписать их из ка-
Ю S S 7 6 5 4 3 2 /
О 123456789Wx Рис. 64.
кой-либо таблицы квадратных корней.) Мы здесь ограничились значениями корней с тремя десятичными знаками.
Рассматривая найденные значения г/, мы уже можем составить понятие о ходе изменения функции. Он станет особенно наглядным, если изобразить эту функцию графически (рис. 64).
Возьмем кусок миллиметровой бумаги или лист бумаги в клетку из школьной тетрадки и проведем две взаимно перпендикулярные линии — оси координат. От точки их пересечения — начала координат — на одной оси вправо, а на другой — вверх отложим единицы масштаба, например сантиметры. Горизонтальную прямую назовем осью х, перпендикулярную к ней прямую — осью у. Далее поступим так. Из точки оси х, которой приписано значение 1, откладываем вверх по вертикали, т. е. параллельно оси г/, отрезок г/=4,123, соответствующий значению х=1. Так же откладываем значения г/, соответствующие другим значениям х. Полученные таким образом точки наглядно представляют зависимость у от х. По ним удобно следить за характером возрастания у\ можно, например, заметить, что с возрастанием х возрастание у становится все более быстрым.
До сих пор мы вычисляли нашу функцию, а затем строили ее по точкам, отвечающим лишь целочисленным значениям х. Но можно, конечно, вычислить значения у для дробных х, например, X=I1I или х=1,2 и т. д. Соответствующие точки образуют в своей совокупности линию, которая изображена на рис. 64.
Упражнение 49. Значения у можно найти также при помощи построения. Как проще всего это сделать? Постройте таким способом значения у, отвечающие #=0,5; 1,5; 2,5 и т. д.А
Кривая начинается точкой, отвечающей значению ? = 0. В этом случае нет никакого прямоугольного треугольника и невозможно вычисление гипотенузы по теореме Пифагора. Это значение х можно рассматривать лишь как предельный случай, когда один катет имеет постоянное значение 4, а другой становится все меньше и меньше, и длина гипотенузы все более и более приближается к 4. Таким образом, ясно, почему на нашем графике при х =0 мы откладываем значение г/=4.
Кривая, представляющая графически функцию
У=Ух2+а\
является частью равносторонней гиперболы.
3. Перейдем к изучению вопроса о том, как изменяется один катет, когда другой остается постоянным, а гипотенуза изменяется. Здесь независимой переменной будет гипотенуза, обозначим ее через х\ зависимую же переменную, т. е. катет — через у. Если постоянное значение другого катета обозначить через а, то будем иметь
х2 = у2-\-а2
или
у=Ух2—а\
причем корень опять берется в арифметическом смысле.
Чтобы изобразить ход изменения этой функции, мы снова составим таблицу. В противоположность предыдущему случаю теперь нельзя выбирать х совсем произвольно. Например, взяв а=4, как в предыдущем параграфе, мы при х=2 натолкнулись бы на значение
у=V4 —16 = 1/=^12,
т. е. получили бы для у мнимое значение.
Для того чтобы под корнем стояло положительное число, необходимо, чтобы выполнялось неравенство х>а, заметим, что при х=а для у получается вещественное значение у=У~0=0. Неравенство х>а легко объяснить геометрически: ведь х— гипотенуза, а такого прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза меньше катета, не существует; случай же, когда гипотенуза равна одному из катетов (х=а), имеет смысл лишь как предельный случай, когда другой катет равен нулю.
Составим теперь таблицу:
х-
=4,
2/=-(/0=0,000;
X
=5,
г/=)/9=3,000;
X
=6,
7/=1/20=4,472;
X
=7,
2/=)/33=5,745;
X
=8,
г/=|/48=6,928;
X
=9,
2/=)/65=8,062;
Графическое изображение этих величин, которые мы можем вычислять с любой точностью и число которых можно увеличивать, вводя промежуточные дробные значения х, дает кривую, изображенную на рис. 65.
Упражнение 50. Из таблицы сразу можно заметить, что функция у при возрастании х замедляет свой рост. Продолжите
S S 7
6 5 4
3
г і
Ql 23456789 Ю~Х Рис. 65.
таблицу до #=15 и составьте разности между каждыми двумя последовательными значениями у (для целых х). Какую роль играют эти разности в графическом изображении функции?
4. Сравнивая только что полученный график с графиком предыдущего пункта, мы можем обнаружить некоторое сходство между ними. Остановимся немного на этом. Прежде всего заметим, что каждая из двух рассматриваемых функций
