Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Очень красивое доказательство нашей теоремы о высоте опубликовал К. Мейтцнер. Два малых прямо-ч угольных треугольника (рис. 49), на которые высота делит большой треугольник, составим так, чтобы их гипотенузы служили продолжением одна другой. Это можно сделать двумя способами (рис. 50 и 51). На рис. 50 полу-
Рис. 51.
ченная фигура дополнена до прямоугольного треугольника квадратом /г2, а на рис. 51— прямоугольником pq. Но полученные треугольники равны. Отсюда h2=pq.
6. Рассмотрим еще одно предложение, являющееся следствием теоремы о высоте. Разделим отрезок с на части р и q и на каждом из трех отрезков р, q, с, как на диаметре, построим полуокружность (рис. 52). Получающаяся при этом фигура, ограниченная тремя полуокружностями (на рис. 52 она заштрихована), вследствие своего сходства с кривым сапожным ножом получила название а р б е-
лона*). Архимед доказал несколько теорем, относящихся к этой фигуре; мы здесь ограничимся рассмотрением одной из них. Впишем в большую полуокружность прямоугольный треугольник, в котором с является гипотенузой, а р и q — ее отрезками. Тогда круг, построенный на высоте этого треугольника, как на диаметре, равно-
*) От греческого слова ap^dwc — сапожный нож.
Рис. 52.
велик нашему арбелону. При доказательстве этого удобно исходить из промежуточного равенства, которым мы пользовались в предыдущем пункте:
2h* = c2—p2 — q*.
Умножая обе его части на получим:
о
TCh2__TCc2 тер2 TCq2
где левая часть выражает площадь круга, диаметр которого равен высоте, а правая — площадь арбелона.
7. Распространим теперь метод, которым мы пользовались в начале этого параграфа, на треугольники про-
извольного вида (не обязательно прямоугольные!) и таким путем устраним один недочет, допущенный в предыдущем параграфе. Предположим, что в треугольнике ABC угол у тупой (рис. 53). Построим
внутри этого треугольника Рис. 53. на сторонах а и Ъ два ма-
лых треугольника, подобных исходному. Это можно сделать, откладывая при вершине С от стороны AC угол (3, а от стороны БС — угол а; третьими вершинами этих треугольников будут точки пересечения полученных таким образом сторон со стороной AB исходного треугольника; мы обозначим эти вершины через D1 ж D2. Так как угол у — тупой, а а+ (3 — острый, то в результате построения получится равнобедренный треугольник CD1D2, у которого ^/CD1D2 = = CD2D1 = aJrf>; высота этого треугольника совпадает с высотой CE исходного треугольника, а по обе стороны от него расположены подобные друг другу и исходному треугольнику треугольники D1CB и D2AC Введя для краткости обозначения:
AD2^n1 D2E=ED1^o, D1B^m, CD1=CD2=S9
можно, основываясь на подобии треугольников, записать три пропорции:
s:n=m:s, (1) а:т = с:а, (2) b:n=c:b, (3)
или, переходя к произведениям, три равенства:
s2 — mn, (4) а2=тс, (5) Ь2=пс. (6)
Мы рекомендуем читателю убедиться в справедливости этих соотношений также геометрическим путем, выполнив действительное построение квадратов и прямоугольников. Тогда еще яснее обнаружится, что здесь мы имеем дело с обобщением теоремы Пифагора.
Из равенств (5) и (6) следует, что
а2-\-Ь2 —с (т-\-п).
После прибавления и вычитания справа члена 2ос — заметьте эту маленькую хитрость — мы будем иметь
а2 + Ъ2=с (т+п+2о) — 2ос.
Член в скобках равен с. Таким образом, можно написать равенство:
с2 = а2+Ъ2+2ос. (7)
Это — поучительное обобщение теоремы Пифагора. В случае, когда у—90°, сразу же замечаем, что о=0, и мы возвращаемся к доказательству, с которым познакомились в начале этой главы.
Упражнение 34. Проведите аналогичные рассуждения для случая, когда угол у — острый.
8. Присоединив к уже известным фактам результат упражнения 34, мы снова получим доказательство предложения, обратного теореме Пифагора (см. п. 4 § 3). В нем утверждается, что если с2=а2 + б2, то угол Y- прямой. В самом деле, если бы это было не так, то угол у мог быть тупым или острым. В первом случае было бы справедливо равенство (7), где о^=0, во втором — близкое к этому равенство, вывод которого составляет содержание упражнения 34, где также о^=0. В обоих случаях мы приходим к противоречию со сделанным допущением.
9. Покажем теперь с помощью вспомогательного построения, что равенство (7) есть не что иное, как разновидность обобщения теоремы Пифагора, о котором мы уже упоминали в п. 4 § 3. Опустим, например, из вершины В треугольника АБС перпендикуляр на сторону Ъ (или на ее продолжение, если у тупой) и обозначим через F1 основание перпендикуляра. Тогда ABF1C^ACED1, так как в них соответствующие углы при ChD1 равны. (Такое же построение можно провести, исходя из вершины А; на рисунке это выполнено.) Обозначим проекцию CF1 стороны а на Ъ через р; в другом треугольнике отрезок CF2—q есть проекция стороны Ъ на а.
Из подобия треугольников BF1C и CED1 получаем
sp
о:s= р:а или о=—.
г а
Возвращаясь теперь к трем ранее рассмотренным подобным треугольникам и пользуясь тем, что AABC^ ^AACD2, получаем еще одну пропорцию
