Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
7 S Ь
s: о= а: с или — = — .
а с
Таким образом, добавочный член равенства (7) можно представить в виде
2oc=2s^c = 2~pc=2bp,
а с 1 11
а само равенство (7) — в виде
с* = а* + Ь* + 2Ьр.
Таким же путем, рассматривая второй вспомогательный треугольник, мы пришли бы к равенству
с* = а* + Ь*+2ад.
Так выражается обобщенная теорема Пифагора в случае тупого угла Y-
Упражнение 35. Проведите доказательство для случая, когда угол у острый.
10. Как показал Е. Д и н т ц л, доказательства, связанные с укладкой паркета (т. е. покрытием плоскости
многоугольниками), могут применяться и в случае обобщенной теоремы Пифагора.
Мы будем исходить из тупоугольного треугольника ABC (рис. 54) с тупым углом при вершине С и прилегающими к нему сторонами CA = а и CB = Ъ. В качестве
Рис. 54.
повторяющегося элемента рисунка паркета возьмем восьмиугольник ACBIDEFG1 составленный из двух квадратов ACHG и HIDE со сторонами, соответственно равными сторонам Ъ и а треугольника, и двух равных параллелограммов CBIH и HEFG с этими же сторонами Ъ и а. Если наложить теперь на наш рисунок квадратную решетку так, чтобы узлы ее совпали с центрами больших квадратов и чтобы прямые MN и AB были параллельны, то можно доказать, что, например, квадрат MNOP и восьмиуголь-
ник, взятый за основу рисунка паркета, можно составить из одних и тех же частей 1,2, ...,9 или равных им частей Г, 2', 3', 4, 5, 6'', 7, 8', 9.
А так как AB=MN, то отсюда следует, что
АВ2=АС2+ВС2+2СН-СК,
что и представляет собою обобщенную теорему Пифагора.
Упражнение 36. Этот метод доказательства можно распространить также и на случай остроугольного треугольника ЛВС, но здесь рисунок усложнится, так как фигуры будут частично перекрываться. Попытайтесь все-таки преодолеть это затруднение!
Упражнение 37. Так же как и в случае простой (не обобщенной) теоремы Пифагора, квадратную решетку здесь можно выбирать произвольным образом, получая при этом различные разложения. На рис. 54 изображены два новых положения решетки. В первом за вершину квадрата принимается точка L, расположенная так же, как и точка А; во втором — центр малого квадрата. Найдите, как в этих случаях выглядит разложение квадрата с2.
11. Если в наших рассуждениях, кроме теории подобия, использовать еще и выросшую из теории подобия тригонометрию, то получим еще одну форму записи обобщенной теоремы Пифагора:
с2 = а2 + Ъ2 — 2ab cos у.
Действительно, проекция стороны треугольника а на сторону b равна a cos у или — a cos у в зависимости от того, будет ли угол у острым или тупым. В обоих случаях предыдущее равенство будет справедливо; в тригонометрии оно известно под названием теоремы косинусов.
С помощью тригонометрии можно легко доказать теорему, которую открыл <впрочем, вряд ли первым!) немецкий школьник И. Клейн. На рис. 55 изображен произвольный треугольник ABC, на сторонах которого а, b и с построены квадраты. Теорема утверждает, что заштрихованные на фигуре треугольники равновелики. Доказательство получается сразу, если воспользоваться формулой для площади треугольника
s=y аЪ sin у, замечая при этом, что sinY=sin(180° —у).
Упражнение 38. Проведите полное доказательство последней теоремы.
12. Векторами называют направленные отрезки. Мы будем обозначать их жирными латинскими буквами. Суммой двух векторов называют вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Если а + Ь = с, тоа=с—Ъ. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их длин и косинуса угла, заключенного между ними. Таким образом, скалярное произведение, взятое по абсолютной величине, выражает площадь прямоугольника, образованного одним из векторов и проекций другого вектора на него (или на его продолжение). Если векторы а и Ъ образуют угол у, то
а-Ъ = а-Ъ cos у.
Здесь а и Ъ обозначают длины векторов а и Ъ.
Если векторы перпендикулярны друг другу, то
а-Ъ = 0
в силу того, 4tocos90°=0. Если Y=O, то аЬ = аЪ\ в частности,
а2 = а2.
Для скалярного произведения имеет место закон дистрибутивности:
т (а-\-Ъ) = та-\-тЪ.
Пусть ABC — прямоугольный треугольник (рис. 56) с прямым углом при вершине С, построенный на векторах а=СВ, Ъ = СА, с=АВ. Тогда справедливо векторное равенство
6-f с = а,
откуда имеем
с=а — Ъ.
Возводя обе части в квадрат, получим
с2 = а2 + Ъ2 — 2аЪ. Так как alb, то аЪ = 0, откуда
с2=а2+Ъ2
или
с2 = а2 + Ь2.
Нами снова доказана теорема Пифагора. <Если треугольник АБС — произвольный (не обязательно прямоугольный!), то та же формула
с2= (а — Ь)2 = а2 + Ъ2 — 2аЪ
дает
с2 = а2 + Ъ2 — 2аЬ cos у,
т. е. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.)
Обозначим через h вектор, проведенный из вершины С прямоугольного треугольника перпендикулярно гипотенузе АВ = с. Будем считать, что конец D вектора а принадлежит стороне AB треугольника и разбивает эту сторону на два отрезка DA и DB] пусть DA=p и DB=q. Тогда
аЬ = 0, ph=07 qh=0, a=q+h, b=p+h и, следовательно,
