Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
ка2+кЪ2=кс2
(где к имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников,— нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что
аа + Ьа = са,
а это влечет за собой тот факт, что равенство Fа + Fb~Fс выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.
Теперь нам остается заметить, что для одной тройки подобных многоугольников, построенных на АС, ВС и AB ~— а именно, для прямоугольных треугольников, подобных треугольнику АВС,— равенство F а + Fb = Fc заведомо выполняется. Для того чтобы в этом убедиться, нет необходимости обращаться к рис. 46, а можно исходить сразу из рис. 44 (где прямоугольные треугольники построены по ту же сторону от сторон ABC, что и сам исходный треугольник; ср. п. 13, §2). А отсюда, как мы видели, следует, что это равенство выполняется для любых построенных на сторонах треугольника подобных многоугольников, в частности, для квадратов.
Это красивое доказательство теоремы Пифагора *) (опирающееся, правда, на теорию подобия) является одним из самых простых!)
4. Сейчас мы познакомимся с одним интересным приложением рассмотренного в п. 3 обобщения теоремы Пифагора — мы имеем в виду предложение, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о гиппократовых луночках. Гиппократ Хиосский (вторая половина V века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек (по-гречески }X7j v. аяо;, по-латыни lunula). Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей1); квадратура такой фигуры сводится к нахождению равновеликого ей квадрата. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гиппократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб И б н Альхаитам (ум. 1039 г.). Французские математики А. де Лион и Г. Парди высказали ее вновь в 1654 и в 1671 гг.; основывались они при этом на арабских источниках или нет — установить невозможно. Парди в своих Elemens de Geometrie говорит об общем случае
*) См. Д. П о й а, Математика и правдоподобные рассуждения, M., 1957, стр. 34—37.
г) Если точно следовать этому определению, то лунный серп, не может быть назван луночкой, так как он ограничен дугой окружности (периферия Луны) и дугой эллипса <получаемой в результате проекции окружности (периферии тени Земли) на шар (Луну)).
теоремы, как о Lunes d'Hippocrate de Scio — луночках Гиппократа Хиосского. В издании «Начал» Евклида 1745г. Таке-Вистон также ошибочно приписывает Гиппократу общую теорему.
Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла; эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще Рис- 47.
древние вавилоняне. Опишем две
полуокружности на катетах так, как указано на рис. 47, тогда получатся две луночки (заштрихованные).
Пусть Ка, Къ и Кс— площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, высказанной в предыдущем параграфе, имеем:
ка+кь=кс.
Упражнение 33. Предложение, на которое мы только что сослались, было доказано лишь для многоугольников. Будет ли оно справедливо также и для полукругов?
Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства
а2 + Ъ2 = с2 на . В самом деле, равенство
8 а ^ 8 0 8
означает, что площадь полукруга с диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами а и Ъ.
Если мы отнимем одни и те же части (на рис. 47 они не заштрихованы) как от полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.
5. Возвратимся к нашему прямоугольному треугольнику, который мы разделили на два малых треугольника (рис. 44). Пусть h — высота, опущенная из вершины прямого угла, р и q — отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота. Тогда вследствие подобия малых треугольников имеем
p:h = h:q или h2=pq.
Этот факт в теории площадей выражается так: Квадрат, построенный на высоте прямоугольного тре-
угольника, равновелик прямоугольнику, сторонами которого служат отрезки гипотенузы.
Это предложение можно вывести и непосредственно из теоремы Пифагора, не пользуясь теорией
a0*
A PD
В
Рис. 48.
подобия. В самом деле, из A CD имеем
/г2 = Ь2
Рис. 49.
рассмотрения треугольника 7л.
из рассмотрения треугольника BCD выводим
йа = аа —?а.
Сложим эти равенства и в полученном равенстве 2h2 = a2 + b2 — р2 — q2
заменим сумму квадратов катетов а2 + Ъ2 квадратом гипотенузы с2=(р + q)2:
2h2=:(p + q)2 — р2 — q2.
Раскрывая скобки, деля на 2 и упрощая, будем иметь
h2=pq.
Наглядное доказательство этого равенства следует из рис. 48. По теореме Пифагора квадрат III, построенный на высоте, равновелик квадрату /, построенному на катете, без квадрата //, построенного на отрезке р гипотенузы, или равновелик прямоугольнику IV, так как квадрат / равновелик прямоугольнику 11-{-IV. Сторонами же прямоугольника IV служат отрезки р и q.
