Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 27. Докажите строго, что продолжение отрезка FG проходит через точку D.
4. Остановимся коротко на предложениях, которые в евклидовой системе следуют за теоремой Пифагора.
Мы ограничимся их перечислением; читатель же может обдумать эти доказательства, заимствовав их из какого-нибудь учебника геометрии. Прежде всего важно отметить, что теорема Пифагора обратима. Часто этот факт считают само собою разумеющимся, хотя на самом деле он не так очевиден: ведь из того, что каждый берлинец — немец, совсем еще не следует, что каждый немец обязательно будет берлинцем. Таким образом, нужно доказать такую теорему:
Если квадрат, построенный на одной из сторон треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на двух других его сторонах, то треугольник прямоугольный, причем прямому углу противолежит та сторона его, которая соответствует самому большому квадрату (ср. п. 8, § 4).
Доказательство этой теоремы сразу вытекает из следующего обобщения теоремы Пифагора:
Во всяком треугольнике квадрат, построенный на какой-либо из сторон, равен сумме квадратов, построенных на двух других сторонах, уменьшенной или увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, образованного из одной из этих сторон и проекции другой стороны на нее, причем удвоенная площадь этого треугольника вычитается из суммы площадей квадратов, если первая сторона треугольника лежит против острого угла и прибавляется к сумме площадей квадратов, если эта сторона лежит против тупого угла (ср. п. 9, § 4).
Упражнение 28. Докажите это предложение путем вычисления с применением теоремы Пифагора, используя высоту треугольника для нахождения проекции стороны, а затем исключая ее.
5. Сейчас мы докажем так называемую теорему П а п п а, которой еще нет у Евклида и которая впервые встречается у П а п п а Александрийского (III в. н. э.), именем которого она и названа:
Во всяком треугольнике параллелограмм, построенный на одной из его сторон внутрь треугольника, причем так, что две его вершины лежат вне треугольника, равновелик сумме таких параллелограммов, построенных на двух других сторонах треугольника, что стороны их, проти-
воположиые сторонам треугольника, проходят через вершины первого параллелограмма.
Если исходный треугольник прямоугольный, а в качестве параллелограмма, построенного на гипотенузе, взят квадрат, то мы имеем теорему Пифагора, которая, таким образом, является частным случаем теоремы Паппа.
У праж пение 29. Сделайте чертеж, относящийся к этому случаю; разберите, какое расположение квадратов здесь имеется в виду и какое доказательство скорее всего приведет нас к цели.
Для доказательства теоремы Паппа рассмотрим рис. 42, на котором изображены параллелограммы ADEC и BFGC Мы продолжим их наружные стороны до пересечения в точке С и соеди-C ним точку С с вершиной
лики параллелограммам ADEC и BFGC, так как у них равны основания и высоты. Если теперь от заштрихованной фигуры AA'С В'В отнять треугольник А'В'С, то останется параллелограмм AA'В'В. Если же отнять треугольник ABC, равновеликий треугольнику А'В'С, то останется сумма параллелограммов AA'С С и BB'С С, которую можно заменить суммой равновеликих им параллелограммов ADEC и BFGC Теорема доказана.
Упражнение 30. Если сдвинуть прямоугольный треугольник в направлении одного из катетов за вершину прямого угла на расстояние, равное другому катету, то мы придем к чертежу, позволяющему использовать теорему Паппа для доказательства предложения, относящегося к построенному на катете квадрату. Если же сдвинуть треугольник так, чтобы гипотенуза, пройдя через вершину прямого угла, описала квадрат, то мы придем к уже известному нам доказательству теоремы Пифагора. Проверьте это.
F тому треугольники ABC и А'В'С' равны. Параллелограммы A A 'CC и BB'С С будут равнове-
C треугольника. Можно представить себе, что треугольник А'В'С получен параллельным переносом треугольника ABC. Поэ-
Рис. 42.
6. Естественно возникает вопрос, существует ли стереометрический аналог теоремы Пифагора. Оказывается, да. Впервые его нашел, по-видимому, в 1622 г. Иоганн Фульгабер из Ульма.
Построим трехгранный угол, все двугранные и все плоские углы которого прямые (рис. 43). В каждой комнате восемь таких углов. На каждом ребре возьмем по произвольной точке А, В и С. Если площадь треугольника ABC обозначить для краткости через ABC, то «теорему Пифагора для пространства» можно записать так:
АВС2=ОАВ2+ОАС2+ОВС2
Мы не будем останавливаться на доказательстве этой теоремы, сводящемся к простому вычислению (оно намечено в упражнении 31).
Упражнение 31. Докажите справедливость равенства, выражающего «теорему Пифагора для пространства», выразив площади всех треугольников через длины ребер ОА=ка, ОВ=кь, ОС=кс. Для прямоугольных треугольников OAB,... это сделать совсем просто. В треугольнике же ABC нужно сначала вычислить длины сторон, пользуясь теоремой Пифагора, а затем подставить найденные величины в формулу Герона для площади треугольника:
S=yp(p-a)(p-bXp-c),
