Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 59.
S= ~\/h2 + \a2
Затем мы можем вычислить высоту hx боковых граней. В прямоугольном треугольнике, один из катетов которого
равен /г, а другой —у, высота Ji1 будет гипотенузой. Поэтому
Упражнение 43. Вычислите боковую поверхность пирамиды.
5. Возможно, некоторые читатели сочтут наши приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Это — большая ошибка! Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышку башни (или палатки), то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ.
Заметим, что расчет площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все ска- /Г ты крыши, сколько бы их ни /|\
было, имеют одинаковый ук- / і \_
лон. Оно гласит: чтобы найти / \/ поверхность крыши, все ска- //
ты которой имеют равный -
уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на Рис. 60. длину какого-либо стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь. А как определит «стропила» геометр?
Упражнение 44. Проверьте это правило на двухскатной крыше (рис. 60); на пирамидальной (рис. 59); на четырехскатной (рис. 61); на конусообразной.
Упражнение 45. Докажите последнее предложение в общем виде.
Упражнение 46. Как можно сформулировать то же правило, если вместо отношения длины стропила к его проекции ввести уклон крыши?
6. В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рис. 62 представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его весьма прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1) ширине окна Ъ для наружных дуг и
2) половине ширины, т. е. у — для
внутренних. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех
Рис. 61.
Рис. 62.
дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию
Ъ
между этими окружностями, т. е. и, следовательно, ра-
диус равен . А тогда становится ясным и положение ее центра.
Упражнение 47. Циркулем и линейкой начертите окно в масштабе 1 : 50, если ширина окна равна 6=3 м.
7. В рассмотренном примере г=# /r=j радиусы находились без всяких затруднений. В других анало-ис* ' гичных примерах могут потре-
боваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. В романской архитектуре часто встречается мотив, пред-
ставленный на рис. 63. Если Ъ по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут
равны Л—-у и г=~. Радиус р внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 62 пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей,
Ъ . Ъ „ Ъ т-г
равна •^- + p, один катет равен -^-, а другой — р. По
теореме Пифагора имеем:
или
(4+р) =(т) +(W
и+ї+і'-и+т-'и-л
откуда
bp Ъ2 j
Разделив на Ъ и приводя подобные члены, получим: 3 6 Ъ
Упражнение 48. Постройте циркулем и линейкой чертеж, изображенный на рис. 63.
8. В § 3 мы видели, что теорема Пифагора является одним из важных, если не самым важным предложением теории площадей. В этой главе мы рассмотрели ее с другой стороны. Обнаружилось, что эта теорема является основным инструментом при геометрических вычислениях.
Можно считать, что первый кризис в математической науке связан с поразительным открытием, обнаружившим, что в некоторых достаточно простых случаях невозможно обойтись первоначальным понятием о числе, охватывающим целые и дробные числа. Возможно, Пифагор и не открыл первым теорему, названную его именем, но ему и его школе принадлежит та заслуга, что они первыми осознали этот кризис, а может быть, и указали путь к его преодолению.
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
1. Теорема Пифагора устанавливает зависимость между сторонами прямоугольного треугольника; пользуясь ею, можно вычислить по двум известным сторонам неизвестную третью. Иными словами, каждая сторона прямоугольного треугольника есть функция двух других.
Прежде чем заняться этой функцией, мы рассмотрим одну простую задачу, тесно связанную с этой функцией. Пусть одна из сторон имеет постоянное значение (постоянную длину) а; вторая сторона пусть изменяется — ее мы будем считать независимой переменной х\ третью сторону — зависимую переменную у— нам надо определить.
Разберем сначала три задачи:
1) Как изменяется гипотенуза, когда один катет изменяется, а другой остается постоянным;
2) Как изменяется катет, когда гипотенуза изменяется, а другой катет остается постоянным;
3) Как изменяется катет, если другой катет изменяется, а гипотенуза остается постоянной?
