Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 54. Дополните до целых кривые в случаях, разобранных в пи. 2, 3 и 5 (для этого надо рассмотреть, кроме положительных значений х и у, также и отрицательные); произведите соответствующие вычисления и отразите их графически.
Упражнение 55. Как будет выглядеть общая поверхность, аналогичная рассмотренной в п. 6, но охватывающая положительные и отрицательные значения переменных х и у?
Подытожить результаты этого параграфа можно так: во всех рассмотренных случаях мы установили, что геометрическим представлением равенства Пифагора, рассматриваемого как функция двух переменных, является прямой круговой конус, угол при вершине которого (угол раскрытия — наибольший угол между двумя какими-либо образующими) — прямой. Если же рассматривать одну из величин как функцию другой при постоянной третьей, то мы получим «коническое сечение», например, изогип-су соответствующего конуса, расположенную в плоскости, высота которой над координатной плоскостью равна заданной постоянной. Такими сечениями могут быть окружность и равносторонняя гипербола.
§ 7. ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА*)
1. Три целых положительных числа х, у и z, удовлетворяющие «уравнению Пифагора»
X2 + 7J2 = Z2,
называют пифагоровыми числами. С простейшим примером пифагоровых чисел мы уже знакомы: нам встречался треугольник со сторонами 3, 4 и 5. В самом деле,
32 + 42 = 52.
Спрашивается, существуют ли другие тройки пифагоровых чисел и если существуют, то какие именно?
Сразу очевидно, что если 3,4 и 5 — пифагоровы числа, то это же можно сказать о числах 2-3, 2-4, 2-5, затем о числах 3-3, 3-4, 3-5 и т.д. Вообще, если а, Ь, с — тройка пифагоровых чисел, а т — любое целое положительное
*) См. также книгу В. Серии некого, Пифагоровы треугольники, M., 1959, широко дополняющую содержание этого параграфа.
число, то и числа та, тЪ, тс также представляют собою пифагорову тройку. Действительно, если
а2 + Ь2 = с2
и следовательно,
т* (а2 + Ъ*) = т*с*,
то и
(та)2 + (mb)2 == (тс)2.
Таким образом, каждая пифагорова тройка дает бесчисленный ряд других; для этого только нужно каждое из чисел тройки умножить на одно и то же целое положительное число. Все эти тройки порождаются одной тройкой, числа которой не имеют общего делителя. Мы назовем такую тройку основной, а все остальные — производными. Так, например, числа 3, 4, 5 служат основной тройкой пифагоровых чисел, а числа 6, 8, 10 — производной тройкой.
Мы только что сказали, что три числа основной тройки не имеют общего делителя; однако достаточно знать/ что какие-либо два числа из этих трех не имеют общего делителя. Действительно, если считать, что два числа а и Ъ из какой-либо пифагоровой тройки имеют общий делитель /, то их можно представить в виде
a=fax\ b=fbv
а тогда из равенства
а2 + Ь2 = с2
вытекает, что
т. е. число с также имеет / своим делителем.
2. Напишем ряд из квадратов целых чисел и составим разности каждых двух последовательных квадратов; мы получим ряд нечетных чисел:
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 3 5 7 9 И 13 15 17 19.
В общем виде можно записать
(л+1)а —па = иа + 2л+1 ~~п2 = 2п+19
0*1
т. е. разность между «тг+1»-м и «га»-м квадратом равна нечетному числу 2п+ї. Геометрическое объяснение этому
дается на рис. 70: если сторону квадрата, равную п единицам длины, увеличить на одну единицу и на увеличенной стороне построить квадрат, то его площадь, равная (rc-fl)2 кв. единиц, будет на 2п-\-ї кв. единиц больше, чем площадь первоначального квадрата.
Среди нечетных чисел, кото-^ рЫе можно как мы ВИдели вы-
70 ше, рассматривать как раз-
и ' ' ности последовательных квад-
ратов, находятся и все нечетные квадраты, т. е. числа
9, 25, 49, 81, 121 и т. д.
Обозначая нечетный квадрат через 2тг+1, мы получаем следующие значения п, отвечающие этому ряду:
4, 12, 24, 40, 60, ...
Во всех этих случаях числа п и тг+1, а также число, квадрат которого равен 2?г+1, составляют пифагорову тройку; в самом деле
(и+1)а=и2 + (2и+1),
как это вытекает из тождества, написанного выше.
Первые примеры нечетных квадратов дают следующие тройки:
52=42+32, 132=122 + 52, 252 = 242 + 72, 412=402+92, 612=602 + 112.
Первая тройка известна всем. Вторая в виде производной от нее тройки
392 = 362 + 152
встречается уже в IV-V в. до н. э. в одном индусском сочинении; там же приводится и третья. Все тройки пифагоровых чисел, получаемые этим путем, обязательно должны быть основными, так как соседние целые положительные числа п и п-\~\ не могут иметь общего делителя, отличного от единицы.
Поскольку наш ряд можно продолжить, мы тем самым доказали, что существует бесконечное множество основных троек пифагоровых чисел.
3. Теперь спрашивается, все ли основные пифагоровы тройки мы получили с помощью этого метода, или имеются еще и другие? Все найденные нами основные тройки имели ту особенность, что они содержали два последовательных числа. Это было связано с тем, что разности квадратов чисел, которые мы подбирали с тем, чтобы получить нечетный квадрат, всегда были разностями между двумя последовательными квадратами.
