Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Сейчас мы будем составлять разности не между двумя последовательными квадратами целых чисел, а между двумя квадратами, следующими друг за другом с пропуском одного полного квадрата. Дополнив исходный ряд квадратов числом О2 = 0, мы получим такой ряд разностей:
Все его члены состоят из чисел, кратных 4. И если это кратное четырем число в свою очередь есть квадрат, то оно порождает пифагорову тройку. Так, например, разности 16 соответствует пифагорова тройка 3, 4, 5; разность 36 порождает тройку 6, 8, 10, являющуюся производной от той же самой основной тройки. Мы видим, что при таком способе составления разностей получаются уже не только основные тройки. Ближайшую основную тройку
дает разность 64. Это совершенно новая для нас основная пифагорова тройка (впрочем, индусам она была уже известна). Таким путем можно получать все новые и новые основ-
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
XX/ ; 32 36
15, 8, 17
ные тропки, но не это составляет нашу цель. Мы хотели лишь установить, что метод, указанный в предыдущем пункте, не позволяет получить все основные пифагоровы тройки, т. е. что намеченное там решение задачи о пифагоровых числах не полно. И мы это установили!
Упражнение 56. Продолжите ряд разностей. Найдите в общем виде зависимость между квадратом п2, квадратом (я+2)2 и их разностью.
Упражнение 57. Найдите с помощью общего правила (см. упражнение 56) ближайшую основную тройку, следующую за 15, 8, 17.
4. Попробуем теперь найти все решения уравнения Пифагора. Этого нельзя сделать, пользуясь нашим методом, даже в его расширенном виде; действительно, составляя разности через два, через три и т. д. квадрата, мы будем получать все новые и новые пифагоровы тройки.
Прежде чем приступить к поискам полного решения уравнения
x2+y2=z\
мы исследуем вопрос о четности и нечетности отдельных чисел тройки. Так как нас будут интересовать только основные тройки, то мы будем считать эти числа взаимно простыми; в частности, среди чисел х, у и z не может быть двух четных. Оказывается, однако, что числа х и у не могут быть одновременно нечетными. В самом деле, если бы это было так, что z было бы четным числом, скажем
z = 2z1.
А отсюда вытекало бы, что Z2=4Z2,
т. е. что z2 делится на 4 без остатка. То же самое должно относиться к сумме х2-\-у2, так как x2-\~y2=Azf. Положим теперь
?=2^+1, y=2q + l,
тогда
x2+y2=4p2+4p+l+4q*+iq+l,
откуда сразу видно, что эта сумма при делении на 4 дает
в остатке 2. Итак, доказано, что числа х и у не могут быть одновременно нечетными.
Мы теперь можем всегда считать, что х — нечетно, у — четно и, следовательно, z нечетно.
Упражнение 58. Может ли, наоборот, х быть четным, а у нечетным? Как мы должны понимать сделанное допущение?
5. Нашему уравнению можно придать и такой вид:
X2 = Z2 — у2 = (z + у) (z — у).
Обозначим z+y через т, a z—y через п, откуда вытекает, что
т-\-п т—п
и поэтому
X2 = тп.
Заметим прежде всего, что оба числа тип нечетны; действительно, если считать хотя бы одно из них четным* то X2, а следовательно и х, также будет четным, а это противоречит сделанному предположению.
Числа тип должны быть взаимно простыми. В самом деле, если бы у них был общий делитель t (число t не равно 2), то можно было бы положить
m=tmv h = In1,
а тогда вследствие равенств
т-\-п_.т\-\~п\ _т — п_ / т\—пг
Z = —^—~t—z , y——^-—t -
и числа z и у также имели бы t своим делителем. Но это невозможно, так как числа у и z, как мы уже знаем, взаимно просты.
6. Покажем, что если произведение двух взаимно простых целых чисел есть полный квадрат, то и каждое из этих чисел должно быть квадратом. Так, например, если мы разложим число 36 на взаимно простые сомножители, то каждый из них должен быть квадратом. Действительно, разложение 4-9 именно такого рода и притом оно единственно, если не считать очевидного разложения 1-36.
Этот факт легко доказать в общем виде. В самом деле, квадрат целого числа содержит каждый простой множитель четное число раз; например:
302 = 900 = 2-2.3-3.5.5.
Если теперь один из двух сомножителей, на которые мы разлагаем квадратное число, содержит некоторый простой множитель нечетное число раз (например, 18= = 2-3-3), то другой сомножитель (50 = 2-5-5) обязательно тоже должен содержать этот простой множитель. Но это означает, что оба числа (в нашем случае — 50 и 18) имеют общий делитель. Обратно, два сомножителя, на которые разлагается полный квадрат, могут быть взаимно простыми лишь в том случае, если простые множители входят в каждый из них четное число раз, т. е. если эти два сомножителя сами являются квадратами.
Возвратимся теперь к нашему уравнению в его последней форме х2=тп. Так как числа тип взаимно простые, а их произведение есть квадрат, то эти числа тип также должны быть квадратами; поэтому можно положить:
где числа и и v нечетны и взаимно просты. Наше последнее равенство, запишется теперь в виде
х2 = и2 -гА
откуда следует, что
X = U-V. (I)
