Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
еще не появившиеся в таблице, и опять записываем соответствую-; щие равенства. Остается возможность, при которой на некоторо-шаге не найдется числа k и таблицы, не содержащей строки, начи нающейся с k или с некоторого k', такого, что уже записано равен ство k=k'. В этом случае алгоритм кончается.
Если группа G конечна, то обращение к диаграмме Кэли показывает, что алгоритм должен завершаться. Польза от алгоритма как раз в обратном: если алгоритм оканчивается, то G конечна. Пусть, в самом деле, он завершается. Можно заменить каждый номер k наименьшим k', для которого записано равенство k=k'. Тогда множеством чисел, появляющихся в таблицах, будет Q={1, 2, . . ., N) для некоторого N, и каждый такой номер начнет ровно одну строку в каждой из таблиц (и закончит ту же строку). Более того, для каждого hQQ и каждогоу QXUX-1 информация hy=kзанесена рог для одного k Q Q. Тогда первый столбец таблицы для r=yi . . есть перестановка на й, значит, второй столбец таблицы также ляется перестановкой на Q, а следовательно, отображение hv->lru есть подстановка. Теперь таблицы дают конечную диаграмму Кэли для группы GcN вершинами, поэтому G имеет порядок N, а отобра-: жения h>—>hy определяют регулярное представление группы G.
Тем же самым путем перечисляются смежные классы Hg по-некоторой подгруппе H группы G. Содержимым таблицы являются теперь смежные классы, а чтобы алгоритм был эффективным, мы] должны уметь распознавать, когда смежные классы Hg и Hg' сов< падают. В остальном все идет, как и прежде, и алгоритм завершает работу в точности в том случае, когда H имеет в G конечный индек [G : H]=N1 и дает полную диаграмму смежных классов или, есл
12. Диаграммы смежных классов
231
взглянуть иначе, представление группы G своим действием на смежных классах по Н.
Для бесконечных групп, как и для конечных, немало сведений о строении группы G может быть получено из сравнительно скудных данных о ее действии на множестве Q. Суть в том, что Q как G-множество изоморфно прямой сумме G-подмножеств, являющихся диаграммами смежных классов для подгрупп группы G. Самым первым примером этого являются, возможно, рассуждения, посредством которых Пуанкаре в [1882] получает представление для фуксовых групп из знания их действия на перемещениях фундаментальной области и в [1883] аналогичный результат для клейновых групп, действующих на 3-мерном гиперболическом пространстве. За подробностями отсылаем к Маскиту [1971].
Интересующие нас здесь теоремы имеют более простую природу. В них множество Q не наделено какой-либо дополнительной структурой. Прототипом для таких теорем представляется «теорема комбинирования» Клейна [1883] (см. также Форд [1951]), дающая условия, при которых фуксовы группы являются свободными произведениями некоторых подгрупп. Кажется, Макбет [1963] впервые заметил, что справедливость этой теоремы не зависит ни от какой структуры, аналитической или какой-нибудь другой, на множестве Q. В чем-то схожие идеи содержатся в работе Титса [1969]; см. также Диксон [1973]. Ради простоты мы приводим результат Макбета в его наиболее элементарной форме (см. Линдон и Ульман [1968]).
Предложение 12.2 Пусть группа G подстановок на множестве® порождена двумя подгруппами G1 и G2, a Q1 и Q2—непересекающиеся непустые подмножества в Q, такие, что
\Фg1Q G1 влечет за собой Q1^1 є Q2, l=7==g2€G2 влечет за собой Q^sQ1.
Тогда или G есть свободное произведение G = G1 * G2 {без объединенной подгруппы), или же |Gt| = |G, | = 2 и G является диэдральной группой.
? Допустим, например, что | G1 | > 2 и 1, g[, g, — различные элементы из G1. Поскольку Q.gjgr1 П Qi = 0, Qjg. и Q^1-непересекающиеся непустые подмножества в Q2. Поэтому из \фg1QGi следует Q,gj с: Q2. Достаточно показать, что если w = glg2- • g2n-причем I=^g11 g3, .... g2n-1QG1 и \фg2, g4, .... g2„€G2 при п>1, то тф\. Но из того, что Q,g,g2c:Q2g2 c=Q1 и й,йа,-_^г,-с: cQj, по индукции выводится, что Q1DyCrQ1 и шф\. Утверждение тривиально, если IG1I=I или | G2J = I. Остается случай, когда G1 = Il1O} и G2 = [I1A}, причем а2 = А2= 1. Можно считать, что любое другое соотношение имеет вид (ab)n = \. Если таких соотношений нет, то G = C2 * C2 — бесконечная диэдральная группа.
232
Гл. 111. Геометрические методы
Если же (аЬ)п=\ для некоторого наименьшего п ^ 1, то G есть конечная группа диэдра порядка 2п. ?
Отметим обратное: если g=g1sg2, то при регулярном представлении группы g правыми умножениями на Q=g можно найти множества, удовлетворяющие условию этого предложения. Именно: составим Q1 из всех нетривиальных элементов w группы G, нормальная форма которых оканчивается на множитель из g2, a Q2— из всех шф\, заканчивающихся сомножителем из g1. Подобные замечания можно отнести и к обобщениям предложения 12.2, отмечаемым ниже.
Иллюстрацией применения этой теоремы является теорема Сано-ва [1947].
/1 2\ /1 0\
Предложение 12.3. Матрицы ^=Iq j J « В ~\2 1/ над ^
образуют базис свободной группы.
? Группа G = Gp {Л, В) является подгруппой в H=*Gp {A, J}, /0 1\
где •^ = ( j Q U a B=JAJ. Нам нужно установить, что Лт,5л»...
