Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
я-1
2 d(v, vg,), откуда выводится утверждение леммы. ?
¦Ч'ЯШ:
13. Графы Бера__237
Лемма С. Пусть g—слово на образующих множества X длины s, и Z V и u = vg. Тогда при некотором п найдутся элементы X1, ..., xnZ.X, такие, что gxx ... Xn = 1, X1ZX0 для і > sk, а также d (о, ихх ... х,-) ^ max {d (о, v), d (о, и)} при О ^ і ^ п.
? Для начала положим p = og и I = max {d(p, и), d(o, и)}. Тогда и о и р лежат в S{(u), и по условию (II) существуют точки р0 = о, P1, ..., рт = р в S1 (и) для некоторого ms^.d(o, р), такие, что все а(р(, pi+x)^.k. Мы хотим выбрать по индукции элементы g0 = 1, gu ...,gm, такие, что P1 = Og1 и gTl = gTliXt, где XjZXi. Чтобы показать возможность такого выбора, допустим, что g0, уже выбраны для некоторого і ^ т. Но Pi = Og' при некотором g ZG, причем d(o, og'gi\) = = d{pgj-}, og') = d(/?,_!, P1)^k. Поэтому og'g-гЛZSk(о), а значит, og'gi\ = oxil для некоторого x(ZX\- Следовательно, g'grli = hxi~1 при некотором h Z П. Положим gj = h~lg'. Тогда ogi = og' = p{, а из g'gi-1=hxr1 и gT1 = g'~1h получаем равенство g JgTl1 = хт1.
Теперь gT1 = хх ... X1 для любого і, в частности g^1 = Xx ... хт. Поэтому og=p = pm = ogm и oggn\1 = o, откуда ggml = hZH и
gx,. ..xm=h. Далее, Л-1=^+!... х„ при некоторых xm+1.....XnZ
Z X0, и мы имеем равенство gxx...xn = \. Если g = y1--.ys для некоторых yiZX, то все а(о,оуі) меньше или равны k, и по предыдущей лемме мы получим d (о, p) = d (о, оух ... ys) ^
s
^ 2^(°> °f/i)^^s. следовательно, m^ks и неравенство і > ?s і=і
влечет за собой xt Z X0.
Поскольку d(p, v)=d(og, vg) = d(p, и), то max{d(o, v), d(o, и)} = /, и осталось показать, что все d(o, HX1 ... х,) меньше или равны I. Если О^г'^т, то d(p, UX1 ... x() = d(o, ugT1) = = d(ogj, u)=d(pj, ы)</, ибо PiZS1(U). Если же m-s^i^n, то X1 ... X1- = (X1 ... хт) (хт+1 ... X,-) = gn^h при некотором h Z H и d (о, ихх ... X1) = d (о, Ug-1Ii) = d (oh-1, ug„) = d (о, ихх ... Xn) < </. ?
Следствие D. Пусть g—слово от элементов множества X, причем \g\ = s^2>. Пусть также vZV и u = vg. Тогда по модулю нормального замыкания N множества R в свободной группе F с базисом X выполняется некоторое соотношение g = X1 ... хп, Xj Z X, так что все d (о, Vx1 ... X1) меньше или равны max {d (о, v), dip, и)). ?
Закончим теперь доказательство предложения 13.1. Пусть W=Ci1 ... ап—слово на элементах базиса X, которое представляет элемент 1 в С. Нужно показать, что wZ.N. Со словом w мы свяжем последовательность W точек P0*40» Pl = 00I» •••
238
Гл. III. Геометрические методы
. . . , р( = Oa1 ... а{, ..., рп = 0. Доказываем индукцией по ? = max {d(o, pit 0^. і ^n}.
Случай 1. o^ik. Так как d(o, pt)-^.k для любого і, Pi = OXi при некотором X(QX1, причем можно выбрать X0=I Xn = 1. Пусть Ui = Xi^1UiXY1. Тогда out = o, т. е. U/QH. Поскольк R0 ^.N, то по модулю N получим U1 = и{ для некоторого слов U1- от элементов из X0. Поэтому W= U1 ... Un=U1 ... ип. Вместе с произведение U1 ... ип также представляет 1, значит, U1 ... ип ка соотношение между порождающими X0 группы H следует из R9 а потому U1 ... Un = 1 (mod N). Следовательно, w= 1 (mod N).
Случай 2. б > k. Для каждой точки р,- выберем XiQXx и Pi = P1Xj1 так, чтобы d(o, р\) < б. Если d(o, р,)<б, то просто полагаем X1= 1 и p'i = p{. В остальных случаях d(o, р,) = б и по условию (II) существует некоторая точка о, для которой d(o, q)^k и d(o, p()<d(o, р,.). В таком случае q = ox{ при некотором X1-^X1. Положим Pi = PiXf1. Тогда d(o, р'г) = = d(о, PiXT^)=U(OXi, Pi) = d(о,р,) < d(о, р,) = б, т. е. d(о, р\) <6.
Поскольку p'i = p't-iXi-^iXj1, то, записывая g( = x^^ixf1, из следствия D получаем по модулю N соотношение g,- = x(1 ... хц ,
причем все X1J QX, а все d(o, P^1Xn ... х,7Х max [d(o, pj-j, d(o, pi)} < б. Если записать W1, ..., ут вместо X11, ..., xltl, . ..
• •.•,xn,.....хп1п, то получим w = w' (mod N), где w'=y1...ym.
Ввиду описанной выше конструкции все d (о, Oy1 ... yj) меньше б, откуда индукцией по б выводится, что w' = 1 (modЛ*). ?
Опишем теперь одно из основных применений Бером этого метода, упрощенное, однако, тем, что рассматривается случай кольца Z целых величин в поле Q, единственное простое рQZ и специальная алгебраическая группа SL (и, R), где R есть кольцо всех рациональных вида а/рк, а, k Q Z. Положим M = R" и о = Z"— подмодуль Z-модуля М. Тогда G = SL (я, R) естественно действует на М, и og является Z-подмодулем в М, изоморфным о, при каждом gQG. Пусть V — множество таких og для всех gQG. Как видно из определения, G действует транзитивно на V. Стабилизатор точки о в G есть, очевидно, группа # = SL(n, Z), рассматриваемая как подгруппа группы G.
Для каждой пары элементов и и v из V существует, как легко видеть, наименьшее число е^О, такое, что peu^v; оно определяет функцию d, (и, v). При п > 2 не обязательно d1 (и, v) = = d1(v, и), и, чтобы исправить это, определим d(u, v) = = max Jd1(U, v), Cf1(U1 и)}. Ясно, что d является функцией расстояния, инвариантной относительно G, и что условие (I) выполнено; Бер показал также, что и условие (II) имеет место для k=l.
13. Графы Бера
