Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
следует Q0Pg1- с: Qa.g, s Q0. По индукции Q0ay с Q0, поэтому w действует не тривиально. ?
Заметим, что похожие идеи появились у Кальме [1969] и Тите.! [1969]; см. также Тукья [1972]. Тесно примыкает сюда понятие биполярной структуры (см. IV. 6 ниже), введенное Столлингсом [1965]; см. также Масси и Столлингс [1977]. Имея в виду, с одной стороны, предложения 12.4 и 12.5, а с другой стороны — результат Столлингса [1968], нетрудно в случаях свободного произведения с объединенной подгруппой и HNN-расширения описать множества, встречающиеся в условиях утверждений 12.4 и 12.5, в терминах, которые появляются при определении биполярной структуры, и наоборот. Главное достоинство понятия биполярной структуры состоит, видимо, в том, что оно позволяет естественно и единообразно излагать близкие вопросы для свободных произведений с объединенной подгруппой и для HNN-расширений,
13. Графы Бера
235
Суон [1971] использует фундаментальные области для получения порождающих и соотношений групп SL (2, /), где / — кольцо целых чисел поля Q(K—т).
13. Графы Бера
Бер [1962] применил для изучения строения групп один метод из теории графов, который тесно связан с диаграммами смежных классов и, как правило, приводит к изучению этих диаграмм. Это очень близко идеям Серра [1969]. Мы приведем основной результат Бера, после чего отметим его главные приложения и упомянем о его применении Бером [1967], Бером и Меннике [1968] и Серром [1969] при изучении ими общих линейных групп GL (л, R) над некоторыми кольцами R.
Понятие функции расстояния, или метрики, на множестве V стандартно; d есть функция d: VXV-+R, удовлетворяющая следующим аксиомам:
(1) d(u, о)^0, причем d(u, v)=0 тогда и только тогда, когда
U=V1
(2) d(u, v)=d(v, и);
(3) d(u, v)+d(v, w)>d(u, w).
Для vQV и rQR шар с центром v и радиуса г есть Sr(v)= = {«.; d(u, v)^.r}.
Установим теперь основной результат Бера [1962].
Предложение 13.1. Пусть d — целозначная функция расстояния на множестве V. Предположим, что
(I) для любого vQV и /^l шар S1(v) конечен;
(II) существует число k~^l, такое, что для всех vQV и всех 1, если р, q QSt(v), то при некотором п существуют р„ =
= Pу P2.....Pn"= Я в S1 (v), для которых d(p0, q)>d(pt, q)>...
...>d (pn, q) = 0 и d (p0, P1), d (pu р2), ..., d (рп.1У pn) < k.
Допустим, что группа G действует на V транзитивно и сохраняет расстояние d(ug, vg) = d(u, v) для и, vQV и gQG. Тогда, если стабилизатор HeG некоторой вершины v обладает конечным представлением, то и сама группа G имеет конечное представление.
Перед доказательством этого предложения попробуем объяснить идею на примере важного частного случая. Пусть С—граф, и предположим, что он локально конечен, т. е. в каждой вершине сходится лишь конечное число ребер. Определим расстояние d(u, v) между двумя вершинами как длину кратчайшего пути между ними и назовем такой путь наименьшей длины геодезической. Граф С называется локально выпуклым, если каждый шар Sn (v) таков, что любая
236 Гл. III. Геометрические методы
пара его точек соединяется некоторой геодезической, содержащеі ся в Sn (v).
Предложение 13.2. Пусть С —локально конечный и локально вь пуклый граф, а группа G действует на вершинах и ребрах графа С сохраняя расстояния, и транзитивно на множестве вершин. Тогда, если стабилизатор вершины в группе G обладает конечным предстаЩ лением, то и сама группа G имеет конечное представление. ?
? Вернемся теперь к доказательству предложения 13.1. Вьібереї вершину о QV, и пусть H — стабилизатор точки о. Предполагаем] что группа H имеет конечное представление H= (X0; R0}, где X0 =Х01 — симметризованный базис свободной группы F0. Шар Sh (о конечен, а поскольку G действует транзитивно, то существует ко нечное множество элементов g, переводящих о во все вершины Og=. из Sk (о). Обозначим через X1 множество, состоящее из этих эле| ментов g и им обратных вместе с 1. Докажем теперь три леммы »' следствие.
Лемма А. Множество X = X0 (J X1 порождает группу G.
? Нужно показать, что любой gQG лежит в G0 = Gp(X). Из условия (II), в частности, следует, что существуют точки р0 = о, P1, pn = og, такие, что все d(р,, P1+1)^k. Благодаря транзитивности группы G можно считать, что P1 = ogt, где g0=l, a g„ = g- Тогда инвариантность расстояния позволяет из неравенства d(og[, ogi+1)^.k вывести d(o, Og1 + 1^f1) ^k, откуда Og1+1^gT1QS11(O). Теперь же ogi + 1gTl = ox для некоторого х Q X1 и gi+igT1 = hx при некотором h из стабилизатора H точки о. Поэтому g(+1grl Є G0. Следовательно, (gB#rii). •. (^g0"1) = g^a1 = g принадлежит группе G0. Тем самым лемма А доказана. ?
Пусть до — некоторое слово длины |до|^3& + 3 от элементов из X, представляющее некоторый элемент hQH. Мы выберем некоторое слово W0 от образующих из X0, также представляющее h. Пусть R1 состоит из конечного множества слов Ww01, связанных таким способом с конечным множеством рассматриваемых слов w. Положим R = R0U R1. Покажем, что G = (X; R).
Лемма В. Для VQV и gu ..., gnQG
л
d(v, Vg1... g„)< 2d (f. vg,). і
I = I I
? Чтобы доказать это, отметим, что d (v, Vg1 ... gn) ^ d (v, Vgn) + d(vgn, Vg1-^gn) и что d (vgn, Vg1... gn) = d(v, Vg1 ... gn.x). По индукции можно предполагать, что d(v, Vg1 ... g„_i):
