Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 11.1. Если G=(X; R), причем R состоит из единственного соотношения или, вообще, если представление ступенчатое, то оно асферическое. ?
Мы не доказываем здесь это утверждение, однако отметим, что Каррасом и Солитэром [1970] дано более простое и объемлющее до-
224
Гл. III. Геометрические методы
казательство, чем у Коэна и Линдона. Из предложения 11.1 следует утверждение Линдона [1950] о том, что в этом случае нет нетривиальных зависимостей между соотношениями, а когомологий такие, как описанные в III. 10. Геометрическое доказательство, содержащееся в доказательстве Линдона теоремы о свободе, приведено в 9.7.
Шик [1953] доказал частный случай теоремы 11.1.
Коэн и Линдон [1963] получили также следующий результат, применимый к большинству групп, в которых проблема равенства слов разрешима посредством алгоритма Дэна (см. § V.4.).
Предложение 11.2. Пусть G=(X; R), и предположим, что каждое приведенное слово для нетривиального элемента w из N содержит отрезок, составляющий более половины приведенного слова для некоторого элемента из R*. Тогда N имеет базис В, состоящий из элементов, сопряженных с элементами множества R.
? По утверждению 1.2.7 в N существует базис U, такой, что подгруппа N вполне упорядочена относительно порядка «<у, такого, что из |«|<М следует ц<и, и если w Q N, и Q U п ш<и, то w Q N11= = Gp {v; vQU, u<u}. Доказываем по индукции, предполагая, что Nn обладает базисом Ва, состоящим из элементов, сопряженных с элементами множества R. Нужно показать, что NU=Gp {Na, и} имеет такой базис В'и. Но по предположению u=aqb, где q составляет более половины некоторого элемента г=pq из R*. Тогда и' = =u(b~1r~1b)=apb короче, чем и, откуда и QN11. Из того, что B11 U {и} есть базис для N'u, что и' QNn и что и=и (b~lrb), следует, что Bu=B(J {b~xrb} есть базис для N'u. ?
За некоторыми исключениями, из теории малых сокращений следует, что строго пленарные f-группы удовлетворяют предположению, а значит, и заключению предположения 11.2. Цишанг [1965], однако, предложил прямое геометрическое доказательство этого факта.
Предложение 11.3. Если G=(X; R) и комплекс C(X; R) планарный и заполняет плоскость, то в N есть базис, состоящий из элементов, сопряженных с элементами множества R.
? Выбирая начальную точку v0, легко понять, что С является объединением цепочки C1SC2S. . . ,где каждый комплекс Ci есть топологический круг, причем C1— единственная грань D0, содержащая V0, а каждый Cn+1 получен из Cn добавлением некоторой грани Dn. Для каждой грани Dn выберем простую дугу уп в Cn-1 от вершины V0 до вершины Vn на Dn п С„_х, не имеющую с Dn других общих точек. Пусть An=Dn(JYn; тогда граница On комплекса An с началом в V0 имеет метку рп, сопряженную с элементом из R±l. Эти метки рп составляют базис для подгруппы N' группы N, ибо соответствующие граничные пути 8„ представляют базис для фунда-
11. Асферические группы 225
ментальной группы одномерного остова С1 комплекса С, а любая зависимость между рп влекла бы за собой зависимость между (гомотопическими классами) 6„.
Осталось проверить, что N'=N, для чего достаточно установить, что каждый замкнутый путь К в С является произведением путей б*1. Путь К принадлежит некоторому Cn, и мы ведем доказательство индукцией по п. Ясно, что можно считать К петлей с началом в V0, состоящей из отрезка X1 внутри Cn-1 до точки на dDn, отрезка а, содержащегося в dDn, и отрезка внутри Cn-1 до точки v0. Предположение индукции позволяет нам, во-первых, считать, что Xt идет от U0 до Vn, что а — граничный путь для Dn с началом Vn и что %2 идет от Vn назад к v0. Во-вторых, можно считать X1=Yn и X2=Yo1. Но тогда X=On. ?
Можно надеяться перенести геометрические рассуждения такого рода на другие случаи, когда из иных соображений известно, что существует базис из элементов, сопряженных с элементами множества R, а может быть, и на другие представления, асферичность которых известна.
Асферичность некоторых представлений известна из топологических соображений. Для групп ручных узлов это следует из глубоких результатов Папакирьякопулоса [1957)]. Для групп альтернированных узлов это установлено Ауманном [1956], а также выводится с помощью комбинаторных аргументов из результатов Вайн-баума [1971] и Аппеля и Шуппа [1972]. Более тривиально утверждение о том, что все пленарные представления асферичны. Так, если (А, б) — приведенная сингулярная сфера над любым комплексом Кэли C=C(X; R), то не может быть складок: для различных граней D1 и D2, граничащих вдоль ребра е, грани D1O и D2S различны и граничат вдоль еб. Это означает, в частности, что геометрический подкомплекс Аб в С имеет пустую границу. Но планарный комплекс не может содержать непустой конечный подкомплекс без границы.
Последнее рассуждение можно уточнить. Вообще говоря, В (А, б) могут быть «точки ветвления»: звезда с выколотой вершиной v из А может «я-кратно» отображаться на проколотую звезду вершины vb при произвольном гС^А. Это означает, однако, что кратность отображения б одинакова для соседних, а значит, и для всех граней. В таком случае в соответствии с кратностью для граней мы называем отображение б/п-кратным, хотя оно может иметь разные кратности на вершинах и ребрах. Если D1 из А отображается на D1O в С, то можно найти подкомплекс A1 в А , содержащий D1, связный, односвязный и взаимно однозначно отображающийся при б на A1O. Если A1=A, то б является взаимно однозначным, а Аб есть (несингулярный) сферический подкомплекс в С. В противном случае (A1, S1) (где O1— ограничение б на A1) является сингулярным кру-
