Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если зависимость я' получена из я преобразованием первого рода, то, как показывает проверка, приведенные диаграммы, получаемые из S (л) и S (я') склеиванием и разрезанием, одинаковы; поэтому S (я) приведена тогда и только тогда, когда приведена диаграмма 5 (я'). Допустим теперь, что диаграмма S (л) не приведена, т. е. она содержит подкруг с клетками D1, Dj и тривиальной граничной меткой. Если, предположим, ї'</, то преобразования первого рода, сопрягающие Pj посредством pi+1, . . ., py_j по очереди, позволяют считать, что /=/+1, откуда мы выводим равенство PtPi+1=I, т. е. зависимость я не приведена.
Наоборот, если я не приведена, то после преобразований первого рода можем считать, что р;р,-+1=1 для некоторого i. Но тогда в S (л) содержится подкомплекс S0=S (л0), где Л0= (pi, Pi+1), с тривиальной граничной меткой. Значит, диаграмма S (я) не приведена. ?
Теперь мы покажем, что асферичность влечет за собой условие (см. ниже I. 1), которое было рассмотрено Линдоном [1950].
Предложение 10.2. Если G= (X; R) — асферическое представление, и ни один элемент из R не сопряжен другому или обратному к нему, то выполняется следующее условие:
(1.1) Пусть pi . . . Pn = I1 причем каждый сомножитель рх равен UiTfUf1 для некоторых «; ? F, rtQR и <?; = ±1. Тогда индексы разбиваются на пары (i, j), такие, что rt=rj, et=—ej и utQ U1NCi, где С; (централизатор слова rt) является циклической группой, порожденной корнем Sj из ri=sTl.
? Доказываем индукцией по л с тривиальным основанием п=0. По предложению 10.1 асферичность представления означает, что зависимость я=(рь . . ., рп) приводима. Поскольку ни условие, ни I заключение не меняются при преобразованиях Пайфера, можно считать, что РіР,+і=1. Отсюда следует, что rt и rf+\ сопряжены, а
220
Гл. III. Геометрические методы
значит, rt=ri+l и ei=—<?,-+1, причем C=Mf1^+1 централизует элемент T1. Но тогда с Q Cj и утверждение доказано. ?
Условие (1.1) может быть сформулировано более элегантно. Напомним, что с представлением G= (X; R) связан естественный G-модуль N=NI[N, N], модуль соотношений представления. Для\ элемента п из N обозначим через п его образ в N, а элемент W-1Hw, где wQF, запишем, не опасаясь двусмысленности, в виде n-w.
Предложение 10.3. Условие (1.1) эквивалентно тому, что N является прямой суммой циклических G-модулей N1 порожденных образами T1 элементов гt из R и определяемых единственным соотношением T1-S1=Ti, где Si — корень из T11).
? В соответствии с уже установленными обозначениями, которые" стали стандартными, мы рассматриваем N как левый (а не правый) G-модуль, т. е. пишем W-H=WHW-1. Допустим, что справедлив
(1.1). ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО В N ВЫПОЛНЯеТСЯ СООТНОШеНИе ^jS1Ui-Ti=Q
между элементами rt, где <?j=±l, a U1 — элементы из F. Тогда в N, выполняется соотношение
П u/fuj1 = k,
где k — элемент из [N, N]. В этом случае k является произведением коммутаторов [р, q] элементов, сопряженных с элементами из RuR'1, т. е. произведением сомножителей вида p~1q~1pq. Значит, k-1 разлагается в произведение сомножителей р), которые разбиваются на пары, как в условии (1.1). Теперь, если Pi=U1TfUj1,
ТО МЫ Имеем СООТНОШеНИе Pi . . . pnk~1=Pi . . . PnP'i . . . Pm= I.
По предложению 10.2 сомножители здесь разбиваются на пары, но мы видели; что сомножители p'j разбиты на пары, значит, и сомножители вида Pi можно разбить на пары. Но если pt и pj входят в. одну пару, то T1=Tj, et=—ej и U1=UjC для некоторого CQC1. Поэтому В N ПОЛУЧИТСЯ elUi-riJrejUj-Tj=±Ui(ri—C-Ti), где c=shc Для
некоторого h. Значит, данное соотношение в N есть следствие соотношений вида SfTt=T1. Это показывает, что строение модуля N такое, как утверждалось. ?
Следствие 10.4. Если представление G=(X; R) асферично и никакой элемент из R не является истинной степенью, то модуль соотношений N есть свободный G-модуль.
*) При обычном определении асферичности W —• свободный модуль,— Прим.
ред.
10. Сферические диаграммы.
221
? После возможного удаления лишних элементов из R, мы можем считать, что ни один элемент в R не сопряжен с другим или обратным к нему. Теперь применимо предложение 10.3, и, поскольку каждый корень Si=rt представляет тривиальный элемент из G, определяющее соотношение r(-s,=/"; тривиально. ?
Ввиду замечаний из II.3 G = (X; R) обладает свободной резольвентой вида
лі.Ллі.Л^Лм.Лі,
где MjKeVd2 ^N. Если /V — свободный G-модуль, мы можем положить M2 = N, a M3, M1, ... =0, получая свободную резольвенту вида
... —> 0 —* N —у M1 —->- M 0 —> 1. В принятой терминологии это выражается следующим образом.
Следствие 10.5. Если представление G= (X; R) асферично и ни. один элемент из R не является собственной степенью, то когомологическая размерность группы G не превосходит двух. ?
Отметим, что если группа G не свободна, то в силу результатов Столлингса [1968] и Суона [1969] (см. также Коэн [1972]) ее когомологическая размерность в точности равна 2. Заметим также, что если некоторый элемент из R является собственной степенью, то когомологическая размерность группы G бесконечна, но когомологий группы G имеют период 2, т. е. можно построить резольвенту, в которой M2=Mx = . . ., M3=M5= . . ., d3=d5= ... и dt=de= ... (В связи с этим см. Линдон [1950].) Упомянем еще статью Дайе-ра и Васкеса [1973], в которой рассматривается асферичность комплексов Кэли.
