Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 105

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 202 >> Следующая

... АтьВп><Ф 1 при условии, что и все mt, п;ФО. Значит,
нужно показать, что A^JАЫ ... JA""^\, если п^l и все РіФО. Пусть H действует как группа дробно-линейных преобразований римановой сферы С* = С U |°°}, гдегЛ = z + 2, a zJ = 1/г. Положим Q1 = IZiIzKl}, a Q2 = {z; | г | > 1}. Тогда Q^sQ2 при р=фО и Q8ZsQ1. По предложению 12.2 группа H является свободным произведением бесконечной циклической группы H1, порожденной матрицей Л, и группы H2 = {1, J}. Отсюда все следует. ?
С помощью приведенных аргументов можно точно так же пока-зать, что группа G(K), порожденная матрицами А=1 ^ і ) —\v iy»
свободна с базисом {А, В} при любом X Є С, таком, что \Х\^2. Начиная с Санова, аргументы такого рода были последовательно развиты Бреннером [1955], Чаном, Дженингсом, Ри [1961], Линдоном и Ульманом [1969], которые показали, что то же самое утверждение имеет место для чисел X, принадлежащих существенно большей области в С*, хотя полученные области, очевидно, не наилучшие из возможных. Из 12.3 немедленно вытекает, что группа G(X) свободна, если число X трансцендентно или алгебраично, но некоторое сопряженное с ним X' таково, что \Х'\^2. С другой стороны, известны некоторые алгебраические X, для которых группа G(X) не свободна. Однако неизвестно, например, существует ли какое-то рациональное X, 0<|Х|<2, такое, что группа G(X) свободна. Значения X=3Z2, 4/3, ?/з, bU (и числа, которым они кратны) были исключены Линдоном
12. Диаграммы смежных классов
233
и Ульманом [1969], значение V4 — независимо Конвеем и Бреннером, значение V6 — Бреннером (все не опубликовано) 1J.
Вопрос, каковы пары элементов из PSL (2, R), порождающие дискретные группы, свободные произведения или свободные группы, исследовался также Фукс-Рабиновичем [1940], Ньюманом [1968], Пужицки и Розенбергером [1972], Розенбергером [1972], Уомсли [1973], Чарноу [1975]. О свободных подгруппах линейных групп см. Донияхи [1940], Де Грот [1956], Шверчковски [1958], Тите [1972], Верфриц [1973]. О свободных подгруппах групп с малыми сокращениями см. работу Коллинза [1973].
Теорема Макбета 12.2, так же как и аналогичные результаты для свободных произведений с объединенной подгруппой и для HNN-расширений, были получены Маскитом [1965, 1968], см. [1971]. В его теоремах, как в условии, так и в заключении, есть топологические условия; ниже мы приводим варианты, не содержащие рассмотрений такого типа.
Предложение 12.4. Пусть группа G порождена двумя своими подгруппами Gi и G2 с пересечением G1 п G2=H. Допустим, что H является собственной подгруппой как в G1, так и в G2, и ни в одной из них ее индекс не равен 2. Пусть G действует на множестве Q, a Qj и Q2 — не пересекающиеся непустые подмножества в Q. Предположим, что
(1) Q1(G1-ZO=Q1, Q2(G2-ZZ) = Q1;
(2) Q1ZZsQ1, Q1Zf = Q1.
Тогда группа G = G1 *я G2- свободное произведение групп G1- и G2 с объединенной подгруппой Н.
? Допустим, что {G1IHl > 2. Если ggG,—Н, то найдется /6G1, такой, что смежные классы Н, Hg, Hf различны, а значит Sf~1Q(J1—H. По условию (1) Qtg, Q1/, Q^/-1 = Q1, откуда Q1^ = Q2/. Поскольку Q1nQ2 = 0, то QJflQJ = 0; поэтому Q1^nQ1/ = 0- А так как Q1/ Ф0, то QjgcQ2. Если |G2:#|>2, то мы рассуждаем так же. Таким образом, или из gQGx— H следует QjgcQ2, или из gQG2-H следует Q2gcQt.
Достаточно показать, что поф\, если w = hgtg2... gn, где h Q Н, а элементы g,- принадлежат поочередно множествам G1—H и G2—Н, причем Нф\, если я = 0. Случай л<2 следует из определения подгруппы Н. Предположим, что п ^ 2 и, не уменьшая общности, что gx, g3, ...QG1-H, a g2, g4, ...QG2-H. Из условий (1) и (2) имеем Q2ZZ = Q2, Q2^1 = Q11 Q1^2 = Q2, где одно из двух последних включений собственное, так что Q2ZIg1^2CQ1. По индукции, если Q2ZIg1-^g2nCQ1, то
*) Подробное освещение этой задачи см. в обзоре Ю. И, Мерзлякова [1978 *J,— Прим. ред.
234
Гл. III. Геометрические методы
UJigi- • ¦^««co,, а ее л и Q2Ag1.. .g2m+1c:Q2, ToQ2Ag1... g2ra+2czQ1., Следовательно, Q2^cQ1 или й2шсй2, и в любом случае Q2Dy==/= ф%, т. е. ХЙ)ф 1. ?
Предложение 12.5. Пусть G — группа подстановок на множестве Q, порожденная подгруппой G0 группы G вместе с некоторым элементом fQG. Предположим, что H+1—такая подгрупі в G0, что подгруппа H_х = fH+ 1/-1 также содержится в С Допустим, что Q является дизъюнктным объединением непусті множеств Q_j, Q0 и Q+1, таких, что
1) (Q0 U Qo) Г == A0, а = ±1;
2) если g6G0, g$tfa, mo QogsQ0, а = ±1.
Тогда G есть HNN-расширение группы G0 /г/?« изоморфизме -Я+1 на осуществленном посредством сопряжения элеме
том f.
? (Отметим, что один из двух случаев в (1) влечет за собо.і другой.) Пусть G — соответствующее HNN-расширение. Тогда G отображается на G, а поэтому действует на Q. Нужно показать, что группа G действует точно. Но каждый нетривиальный элемент в G сопряжен слову w одного из следующих видов: w ==¦¦ = В € G0, w = F или w = ffg,... fan"gn. Здесь п > 1, C1 ^ 0, g, Є G0, gі ^Ha1, где а, = а, | = Sgn (а,-).
Если W = gФ 1, то w действует точно, ибо G0 действует точно. Заметим далее, что если а Ф О и a = Sgn (а), то 0 =?== Q0/0, QJa <= Q0 и Q0/" Л Q0/0= 0, а значит, Q0/CT с Q„. Следовательно, Q0F=-== Q0faF'a с Q0/0"0 s Qa. Это доказывает, что &у = /а действует не тривиально на Q. В оставшемся случае QJ"' с= Q0/, и из (2)
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed