Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
№ 653
226
¦•ттшятттш» ти т - ¦musmttnn мтт9вя&ш****шш0*тс
Гл. III. Геометрические методы_
гом с граничной меткой, представляющей 1, и склеивание компле са Ai дает сингулярную сферу А', взаимно однозначно отобража щуюся на Д'б', т. е. опять-таки (A', б') является сферой в С. Отсю следует, что если комплекс С не асферичен, то он содержит сфер"
Приведенные выше соображения показывают, что если (А, б) сильно приведенная диаграмма, т. е. она не содержит собственно сингулярного круга, имеющего хотя бы одну грань с граничной м~ кой, представляющей 1, в частности если (А, б) есть сингулярн сфера с минимальным возможным числом граней, то б отобража А взаимно однозначно на сферу Аб в С. Отсюда видно также, что ка да я сингулярная сфера (А, б) есть сумма сфер в С в следующ смысле. Для некоторых сфер Si, . . ., Sn, у которых вершина в С общая, А есть результат склеивания сингулярных кру~ Аь .. ., An с общей вершиной v, причем б отображает каждый взаимно однозначно на St, а її на и. Например, если в С есть толь одна сфера S для каждой вершины, в частности если комплекс сам является сферой, то любая сингулярная сфера есть сумма вз имно однозначных накрытий некоторой такой сферы S. В этом сл чае каждая зависимость между соотношениями есть следствие еди ственной такой зависимости, связанной с S, a N (с образами х эл ментов из X в качестве порождающих) определяется (возможным соотношениями s-r=0 для каждого образа г элемента г из R вме с еще одним соотношением, выделенным из зависимости, котор связана со сферой S.
Отметим, что доказательство комбинаторно-геометрическими тодами асферичности некоторых представлений с «малым сокращ нием» было дано Линдоном [19661, который рассматривал некотор аналогичные результаты для факторгрупп свободных произведени и Шуппом [19711— для факторгрупп свободных произведений с объединенной подгруппой.
Эти же доводы приводят к следующему результату Коэна и Линдона, аналогичному теореме из логики, касающейся «перестройки доказательства».
Предложение 11.4. Пустьв=(Х; R)—ступенчатое преде ление, как в 9.57 Пусть, далее, рI=UsI1U11, U1 Q F, rt QR, et = ±\ приведенная форма слова w=pt . . . рп содержит специальные рождающие Xi только при a^i-k^b. Тогда преобразованиями Пай ра формальное произведение (ри . . ., рп) может быть переведено формальное произведение (qu . . . , qm), такое, что qt . . .qm пр ставляет (разумеется) тот же элемент из N, что и слово и что каждое слово q, равно Vjr/ivj1 для некоторого элем та rh который содержит порождающие xt только при
12. Диаграммы смежных классов
227
12. Диаграммы смежных классов и представления подстановками
Одно основное и элементарное утверждение в теории групп подстановок состоит в том, что если группа G действует транзитивно, скажем справа, на множестве Q, a Я — подгруппа, оставляющая на месте данный элемент со ? й, то множество й как множество с операторами из G изоморфно семейству смежных классов Hg при сопоставлении, переводящем cog в Hg. Те же идеи, которые были предложены для объяснения построения диаграмм Кэли, теперь приводят к обобщению — к диаграммам смежных классов. Более точно, пусть G — группа, H — подгруппа, а X — подмножество в G (которое в наиболее интересных случаях порождает группу С). Определим соответствующую диаграмму смежных классов как помеченный граф Г следующим образом. Множество вершин в Г есть множество Q смежных классов Hg wngQG. Ребра находятся во взаимно однозначном соответствии с Qx(XuX-1); с каждой парой (Hg, х) (для g(zG и X Q X и Х~г) мы связываем ребро е=е (g, х), идущее от Hg к Hgx и имеющее метку х. Обратным является ребро e~1=e(gx, X'1). Эти диаграммы оказались весьма полезными, однако мы ограничимся здесь лишь одной-двумя темами, особенно близкими к нашему подходу, а также ссылкой на Кокстера иМозера [1972], где можно найти подробную информацию.
Приведем сначала одно доказательство хорошо известного следствия формулы Шрайера 1.3.9. Это легкое следствие упомянутой формулы, но приводимое доказательство представляется более прозрачным.
Предложение 12.1. Если G—группа, порожденная конечным множеством из п элементов, a H — подгруппа конечного индекса j в ней, то H порождается некоторым множеством, состоящим из не более чем т элементов, где т—1 =/ (п—1).
? Для любого слова w от порождающих X группы G существует единственный путь с меткой w из вершины H графа Г в вершину Hw. В частности, р является петлей с началом в H тогда и только тогда, когда Hw=H,т.е. до ? Я. Поскольку H имеет конечный индекс, то множество Q конечно, и существует конечный базис рь . . ., рт для петель с началом в Я. Группа я (Г) свободно порождена элементами, определяемыми этими рі, а Я порождается их образами в G. Поэтому Я порождается некоторым множеством, состоящим из не более чем т элементов. Но, как мы видели ранее (2.2), я (Г) — свободная группа ранга т, где m=yt—Yo+1. Yo—число вершин в Г, a Yi— число неориентированных ребер. Для каждой вершины существует не более 2п ориентированных ребер, а так как каждое ориентированное ребро сосчитано дважды, то yi^nj, где /=Yo—
