Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Повторяясь, мы определим сферическую диаграмму над представлением G= (X; R) как пару (S, /), где S есть конечная комбинаторная сфера, а / — сохраняющее размерность отображение из 5 в C= =С(Х; R). Назовем сферическую диаграмму приведенной, если она не содержит никакого сингулярного подкруга S0 ровно с двумя клетками, такого, что его граничная метка представляет тривиальный элемент в F. Если в S содержится такой подкомплекс, не совпадающий со всем S, то после удаления этого подкомплекса и склеивания полученной диаграммы получится новая сферическая диаграмма S', имеющая на две грани меньше; если же S состоит только из двух таких граней, то S'— пустая диаграмма. В любом случае переход от S к S' называется приведением. Сферическая диаграмма называется тривиальной, если ее можно привести к пустой диаграмме. Представление G= (X; R) и его комплекс Кэли C(X; R) называют асферическим, если не существует нетривиальных сферических диаграмм над (X; R) *).
Вопрос о зависимостях между соотношениями, который изучался Пайфером [1949], Райдемайстером [1949] и Линдоном [1950], тесно связан с такими сферами. В первом приближении зависимости между соотношениями представления (X; R)—это равенство щгі'иї1 ... Ujn11Un1 = 1, где r;?R, U1^F, е,- = ±1, которое выполняется в F. Однако всегда есть некоторые тривиальные равенства такого сорта, и чтобы принять их в расчет, введем понятие преобразования Пайфера.
Пусть л = (P1, .. .,рп) — некоторая последовательность элементов в группе G. Преобразование Пайфера первого рода состоит в замене я на л' = (р[, ...,р'п), где для некоторого /, 1^»<я,
ИЛИ „' / і
Pi = Pi + ! И Pl+I = PtIlPiPi + Iy
х) Используемое здесь определение асферичности отличается от обычного.— Прим. ред.
218
Гл. 111. Геометрические методы
ИЛИ
Pi = PiPi^iPT1 и p'Ul = ph причем в любом случае P) = Pj для \фі, і+1. Преобразование Пайфера второго рода состоит в замене л на л' = (р1, ...,pt_lt pi + 2, ...,рп), если PiPj+1=I. Ясно, что во всех случаях произведения P1. . .рп и р[. ¦ .р'п представляют один и тот же элемент группы. (Преобразования этого вида были рассмотрены в несколько ином контексте Гриндлингером [I960].)
Если G=(X; R) нри . . ., рп сопряжены с элементами из Ri)R'1, причем P1 ... рп = \ в F, то мы называем л = (ри . . ., рп) зависимостью между соотношениями данного представления. Если ее нельзя укоротить с помощью преобразований Пайфера, то л называется приведенной, а если л сводится преобразованиями Пайфера к пустой последовательности л'(с «'=0), то эта зависимость тривиальна.
Предложение 10.1. Представление является асферическим тогда и только тогда, когда не существует нетривиальных зависимостей между его соотношениями.
? В доказательстве предложения 9.2 было показано, что для любой последовательности л=(ри...,рп) элементов pi, сопряженных с элементами из R[}R~l, существует сингулярный круг, граничная метка которого с началом в некоторой вершине V0 равна непри-веденному слову pi . . . рп. Обозначим этот сингулярный круг через S (л). Если л — зависимость между соотношениями представления G= (X; R), то граничная метка на S (л) представляет тривиальный элемент группы F, а значит, склеиванием границы круга S (л) получим сферическую диаграмму S'. Покажем, что, наоборот, каждую сферическую диаграмму можно получить таким путем. Пусть S — нетривиальная сферическая диаграмма; она должна иметь более одной грани. Выберем грань D1 в S и вершину V0 на D1. Тогда S — D1 есть сингулярный круг, а поэтому он изоморфен сингулярному кругу Ei на' плоскости. Определим сингулярный круг S1 на плоскости, добавляя к Ei (копию) D1 так, чтобы они имели только общую вершину u0 (точнее, ее образ). Очевидно, что диаграмма S получается из Si посредством склеивания и разрезания (в случае, когда Ei имеет тривиальную граничную метку), D1 имеет метку pi из R U R'1, a Ei- метку о из А7 с началом в V0. Если E1 состоит из одной грани, то доказывать нечего, так как слово q сопряжено с некоторым элементом из Rl)R'1 и круг Si изоморфен S(л) для я=(ри q). В противном случае Ei имеет более одной грани, и мы выбираем грань D2 на границе круга Ei и простую дугу а на дЕі от V0 к точке у на D2. Это можно сделать так, чтобы вершина V0 содержалась в E1—D2. Ясно, что E1 получается посредством склеивания из диаграммы E2, состоящей из двух частей E2 и Е"2, у которых общая лишь вершина V0, причем первая изоморфна D2IJa, а вторая Ei—D2. Теперь уже E2 имеет на одну грань меньше, чем Ex. Значит,
10. Сферические диаграммы
219
повторение приведенного рассуждения приводит к сингулярному кругу Е, состоящему из подкомплексов E2, . . ., En, у любых двух из которых общей является лишь вершина V0. При этом E1 можно получить склеиванием круга Е, а Е\ имеют граничные метки pt, сопряженные с элементами из RuR-1- Следовательно, круг E изоморфен S(p) для р= (р2, . . ., Рп). Но тогда объединение D1 и E с единственной общей вершиной U0 изоморфно S(n), где л= = (P1, . . ., Pu), и S получается склеиванием этого комплекса.
Легко видеть, что сферическая диаграмма S, полученная из S (я) склеиванием и разрезанием, является приведенной тогда и только тогда, когда приведенной является S (я). Так что для завершения доказательства достаточно показать, что диаграмма S (л) приведена, если и только если приведена зависимость я.
