Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 110

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 202 >> Следующая

Пусть и и V—элементы из А*В, имеющие нормальные формы и=?і • • • Sn и V=H1 . . . hh. Если gn и hi лежат в различных множителях, то произведение uv имеет нормальную форму gi .. . gnhi. .. . . . hh. Если h1=gn~1, то скажем, что/ii и gn сокращаются в произведении uv. После некоторого числа сокращений мы можем прийти к gi . . . gihj . . . hh, где gi и hj лежат в одном и том же множителе, но hj^gf1. Скажем, что gt и hj слились при переходе к нормальной форме произведения UV.
Элемент w из А*В с нормальной формой w=gi . . . gn называется циклически приведенным, если gn и gi лежат в различных множителях или если Для циклической приведенности требуется, чтобыg„ Hg1HeMOMH сократиться или слиться, если п>\. Назовем, последовательность слабо циклически приведенной, если gn^gjl или п^1. При этом определении gn и gi могут лежать в одном множителе, но при п>\ они не должны сокращаться.
Положение с сопряженностью в свободных произведениях весьма близко к случаю свободных групп. Имеет место
Теорема 1.4. (Теорема о сопряженности для свободных произведений.) Каждый элемент из А*В сопряжен с некоторым циклически приведенным элементом. Если «=gi . . . g„ и v=hx . . .hm — циклически приведенные элементы, сопряженные в А*В, и п>\, то т=п и последовательности g,, . . ., gn и Zi1, . . ., hm получаются друг из друга циклической перестановкой. Если п^.1, то т=п и и, и лежат в одном и том же множителе и сопряжены в нем.
? Понятно, что произвольный элемент сопряжен с циклически приведенным элементом. Если UKV — сопряженные циклически приведенные элементы, то положим u=cvc~l и будем рассуждать индукцией по IcI. Если |с| =0, то все следует из теоремы о нормальной форме. Пусть C=Ci • • ¦ ck — приведенная форма для с, К^\. Заметим, что равенство
1. Свободные произведения
245
не может выполняться, если между ch и Zz1 или пт и Ck1 нет сокращений- (В этом случае gi . . . gn не было бы циклически приведенным.) В том же случае, когда сокращения имеются, скажем между са и пи получается равенство
Bi • • • Sn = Ci ¦ • • C4-IA1 ... JiJi1CiI1 ... сг\ что позволяет использовать индукцию. ?
Следствие 1.5. Если AuB — конечно порожденные группы с разрешимой проблемой сопряженности, то такова же и группа А*В. ?
Теорема 1.6. (Теорема о кручении в свободных произведениях.) Элемент и конечного порядка в группе А*В сопряжен с некоторым элементом конечного порядка из какого-либо множителя этой группы.
? Пусть y=gi . . . gn— циклически приведенный элемент, сопряженный с и. Если п>\, то нормальная форма для vk имеет вид gi . . . gn . . . g, . . .gn?=i. ?
Следующая лемма аналогична соответствующей лемме для прямых произведений.
Лемма 1.7. Пусть AuB — подгруппы группы G, такие, что A U В порождают G, АГ\ B= {1}, и если gi, . . ., gn— приведенная последовательность с n>Q, то gi . . ^пф\. Тогда G^A*B.
? Из сделанных предположений следует, что гомоморфизм ф: А*В-у<3, индуцированный отображением а\—>а и bi—»6, является изоморфизмом. ?
Замечание. Пусть G=AxB. Множество {aba~1b~1; \фа?А, 1фЬ?В} является базисом некоторой свободной подгруппы группы G.
Утверждение легко проверяется, если заметить, что слишком большие сокращения невозможны. Таким образом, если А имеет по меньшей мере два нетривиальных элемента, а ВФ{ \}, то свободное произведение А*В содержит свободные подгруппы ранга 2, а значит, и счетного ранга.
Доказательство приводимого ниже утверждения принадлежит П. Нейману. (См. Д. Коэн [1972]).
Утверждение. Никакая группа G не может одновременно разлагаться нетривиальным способом в прямое и свободное произведение.
? Предположим, что G=A*B, где Аф{\} и ВФ{\). Пусть g=ab, \фа Q А, и 1фЬ Q В. Легкая индукция по длине элемента с показывает, что если с коммутирует с g, то с является степенью элемента g. Таким образом, централизатор элемента g бесконечный циклический.
246
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Предположим теперь, что G=DxE, где D=^(I} и ЕФ{\). Зі пишемg=de, гдесі ?D неQE. Централизатор элементаgравен ЯX Д" где Я — централизатор элемента d ъ D7 a К — централизатор эяЦ мента е в Е. Таким образом, централизатор С элемента g являете^ нетривиальным прямым произведением. Этого не может быть, пс)| скольку бесконечная циклическая группа не разлагается в нетрш виальное прямое произведение. ? J
Две наиболее важные теоремы о свободных произведениях -ц это теорема Грушко [19401 и Неймана [1943] и теорема КурошУ [1934]. Лучшие доказательства этих теорем привлекают теорию графов. Доказательства приведены выше в разд. Ill.3. Ji

Теорема 1.8. (Теорема Грушко — Неймана.). Пусть F — свобоЩ ная группа и ср ; F-+-*A1 — гомоморфизм из F Ha-X-A1. Тогда суиф\ ствует разложение группы F в свободное произведение F=%.Fti такое, что ср (Fi)=A1. ?
Наиболее часто применяется такое
Следствие 1.9. Если G=A1* . . . *Ап и ранг (минимальное чис. порождающих) группы A1 равен rt, то ранг группы G равен T1+ .
? Пусть r=rank G. Тогда существует гомоморфизм ср из свободно группы F ранга г на G. По теореме Грушко — Неймана F=*Ft где (P(Fi)=A1. Следовательно, ранг каждой группы F1He меньш Г;. Поскольку объединение свободных порождающих множеств дл F1 является свободным порождающим множеством для F, имее T^r1+.. .+г„. С другой стороны, поскольку A1 порождают G, то понятно, K^r1+. . .+гп. ?
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed