Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся теперь к условию, которое обеспечивает асферичность. Если G=(X; R), то нормальное замыкание N множества R в свободной группе F с базисом X является свободным как подгруппа свободной группы F. Оно порождается элементами, сопряженными с элементами из R. Естественно поставить вопрос (см. Линдон [I960]), обладает ли N базисом В, состоящим из трансформ элементов множества R.
Допустим, что в N есть такой базис В. Тогда В имеет вид B= ~{uru~x; гQR, иQU(г)} для некоторых подмножеств U(г) в F. Если для данного элемента г базис В содержит элементы b=uru~x и b'=u'ru'~x, где u'=wu, w Q N1TOf=WbW-1HRBa базисных элемента b и Ь' сопряжены в N, а следовательно, должны совпадать. Поэтому мы можем выбрать каждое U (г) внутри трансверсали V (г) для N в F1 т. е. смежные классы uN=*Nu различны для и QU (г). Более того,
222
Гл. III. Геометрические методы
если с принадлежит централизатору С (г) элемента г в F и и'=ис, т uru~1=u1ru'_1, так что можно считать, что каждое U (г) содержит! ся в левой трансверсали V (г) для NC(г) в F, т. е. все uNC(r) дл и Q U (г) не пересекаются.
Рассмотрим теперь случай, когда каждое U (г) является полно левой трансверсалью для NС (г) в F.
Предложение 10.6. Допустим, что представление G= (X; R удовлетворяет следующему условию:
(1.2) N обладает базисом B= {uru*1; г QR, uQU (г)}, гдедля ка дого г QR подмножество U(г) является полной левой трансверсаль для NC (г) в F.
Тогда представление (X; R) асферично.
? Ввиду 10.1 достаточно будет показать, что при выполнени условия (1.2) нет нетривиальных зависимостей между соотношениями. Допустим, что u = (P1, . . . , рп) есть приведенная зависимость между соотношениями, причем п^\. Здесь каждое pi равно Ui/fuj1 для некоторых UiQF, r,QR и е, = ±1. Поскольку U (г-) является левой трансверсалью для NC (г,), а подгруппа нормальна в F, то можно записать каждый элемент и{ в виде U1 = n-vft, где п,- Q N, V/ Q U (г,) и с,- Q С (г,-). Тогда р,- = п^тТ1, гд q i=ViT iVj1 Q В. Выразим каждый элемент /г,- в виде слова на базисом ?. При этом выражение для р{ в форме р( = п ,-qYnr1 н будет приведенным словом над В, если л,- оканчивается на сте пень элемента qt, скажем nt = n\qf, где m максимально. Но тог да замена п; на п\ не повлияет на наши рассуждения. Таки образом, мы можем считать, что никакое слово р{ = n^fn'1 н допускает сокращений.
По предположению P1.. .рп = \. По предложению 1.2.2, по скольку все слова р{ имеют нечетную длину, какое-то из ни сокращается более чем наполовину соседним сомножителем. M можем считать, что р; сокращается больше чем наполовину произведении Pipi + l, а значит, отрезок qjnj1 в р,- сокращается Если он сокращается как раз с отрезком ni+1qei^\ , тор,р/+1 = вопреки предположению, что зависимость л приведена. Если о сокращается полностью в пі+1, то слово Pi+I = РіРі+іРТ1 короч чем р1+1, и преобразованием Пайфера первого рода можно з менить л последовательностью л', сумма длин слов р\ в которо меньше, чем сумма длин слов рп и индукция по этой сумме 3 канчивает разбор данного случая. Наконец, если в рі + 1 сокр щается отрезок, больший чем /!,•+io''^1. то оставшаяся част слова Pi+1 полностью сокращается в п;, значит, PTIiPiPi + 1 кор" че, чем Pi, и, опять применяя преобразование Пайфера первог рода, мы заканчиваем индукцией по сумме длин слов р,-. ?
//. Асферические группы
223
Мы можем предложить лишь частичное обращение предложения 10.6.
Предложение 10.7. Если представление G=(X; R) асферично и ни один элемент из R не сопряжен с другим или обратным к нему, а В — произвольный базис для N, состоящий из элементов, сопряженных с элементами из R, то В удовлетворяет условию (1.2).
? Достаточно показать, что для любых и Q F и г QR существует некоторый элемент V в uN, такой, что vrv~l лежит в В. Поскольку или-1 принадлежит подгруппе N, a N обладает базисом В, то иги~х равно произведению р элементов р\\ где pi = ViTiUJ1 Q В. Теперь к равенству (иги~1)р~1=\ применяем предложение 10.2, и это для некоторого і дает r=rt, Єі = \ и V1 QuNC1, т. е. vt=vc при некоторых VQ uN, с QC1, a vlrvil=vrv~1 лежит в В. ?
Сопоставляя 10.6 и 10.7, получаем такое
Следствие 10.8. Если G= (X; R) и N обладает базисом, состоящим из элементов, сопряженных с элементами из R, который удовлетворяет условию (1.2), то каждый такой базис удовлетворяет условию (1.2). ?
Модули соотношений N для конечных групп G=FIN изучались Оянгуреном [1968], который рассматривал комплексное представление, индуцированное действием группы G на N. Их исследовал и Уильяме [1973]. Он показал, что при достаточно большом \Х\ из равенств G= (X; RJ = (X; R2) следует, что N1^N2. Вопрос о справедливости этого факта при минимальном \Х\ остается открытым. Им приведены также условия, при которых модуль N обладает проективным слагаемым.
11. Асферические группы
Обратимся теперь к вопросу, какие группы допускают асферические представления. Ввиду 10.6, если у группы есть представление, удовлетворяющее условию (1.2), то оно асферическое.Свойство (1.2) вперые было установлено Коэном и Линдоном [1963] для представлений с одним определяющим соотношением, а также в более общей ситуации для ступенчатых представлений (см. 9.5). Получено следующее
