Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
242_Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Поэтому A ^ А и аналогично В s$ В. Поскольку пАг\ отображает все элементы из В в 1, имеем Af]B = {1}. Учитывая найденные изоморфизмы, мы будем отождествлять Л с А, В с В и рассматривать А и ? как подгруппы в Л * В. ?
Мы остановились на случае двух множителей лишь ввиду удобства обозначений.
Если {A1; і Q /}— произвольное семейство групп, то их свободным произведением, в обозначениях # A1, называется группа, представление которой является объединением непересекающихся пред ставлений групп A1. Как и выше, свободное произведение Р=%А не зависит от выбора представлений для множителей. Верны и другие заключения леммы 1.1.
Из теоремы об определении гомоморфизмов на представлениях непосредственно вытекает, что свободное произведение P=^f-A1 обладает следующим свойством универсальности:
1. Существует фиксированное семейство гомоморфизмов
*€^}. тде Л/: A-t~-"Р> такое, что U1If(^/) порождает Р.
2. Для любой группы G и любого семейства {ft, і Q I) гомоморфизмов /,-: А{—> G существует гомоморфизм г|): P—»-G, такой, что диаграмма
и
коммутативна для всех іQI.
Из общих соображений следует, что любые две группы, облада ющие таким свойством универсальности, изоморфны. Свойство уни версальности, таким образом, может рассматриваться как определ ние свободного произведения. На языке теории категорий свободно произведение является копроизведением в категории групп.
Перейдем к основной теореме о свободных произведениях.
Определение. Приведенной последовательностью (или нормал' ной формой) называется последовательность gb . . ., gn, п^О, эл ментов группы А*В, таких, что каждый gt отличен от 1 и каждый лежит в одном из множителей Л или В, причем последовательн" gi, gl+i не лежат в одном и том же множителе (п может равнятьс нулю, когда последовательность пуста).
Пример. Если А*В= {а, Ъ\ а1, №>, то последовательное
аъ, Ь3, а2, Ь приведена, в то время как а, Ь", а и аг, а3, Ь* приведены.
Основным результатом о свободных произведениях являет:
_1. Свободные произведения_ 243
a(gu •¦¦,gn) =
in, если gi = a-
Для доказательства того, что а — подстановка на множестве W, заметим,что а-1 обратнак а. Легкая проверка показывает, что если a, a QA, то аа'=аа'. Отображение ф : a-wj является, таким образом, гомоморфизмом из Л в S(W), группу подстановок на множестве W. Определим подобным же образом гомоморфизм ip : Ь-+Ь. В этом случае существует гомоморфизм ф*ір : A*B^-S(W). Далее, каждый элемент w из А*В естественным образом может быть представлен как некоторое произведение w=gi . . . gn, где последовательность gi, . . ., gn приведена. Однако подстановка (ф*гр) (w) переводит пустую последовательность в последовательность gb . . . • м gn', следовательно, тф\ при п>0. ?
Теорема о нормальной форме позволяет определить функцию Длины для элементов свободного произведения. Если элемент W
Теорема 1.2. (Теорема о нормальной форме для свободных произведений.) Рассмотрим свободное произведение А*В. Тогда имеют место два таких эквивалентных утверждения:
(I) Если w=gx . . . gn, п>0, причем последовательность gu . . . . ¦ ¦, gn приведена, то ьифі в А*В.
(II) Каждый элемент w из А*В единственным образом представляется в виде произведения W=^g1 . . . gn, где gu . . ., gn — приведенная последовательность.
? Покажем прежде всего, что утверждения (I) и (II) эквивалентны. В утверждении (II) имеется в виду, что 1 есть произведение элементов пустой последовательности. Следовательно, из (II) немедленно вытекает (I). Предположим, что верно утверждение (I). Пусть w = g1...gn и w = hi...hm приведены. Тогда 1 = Si ¦ • ¦ Snhm ¦ ¦ ¦ hj1. Последовательность gi, ..., gn, hm\ ..., hj1 не является приведенной лишь в случае, когда hm лежит в том же множителе, что и g„. Далее, последовательность glt ..., g„~u gjim, Kn-i, ¦ ¦ ¦. hi1 не является приведенной, лишь когда gjlm1= 1, т.е. hm = gn. Рассуждая по индукции, получаем т = п 4hf = gh J=I.....п.
Проведем доказательство, используя гомоморфизм в группу подстановок. (Эта идея принадлежит Артину [1947] и ван дер Вардену [1948].) Пусть W— множество всех приведенных последовательностей из А*В. Для каждого элемента aQ А определим подстановку а на множестве W следующим образом. Если a ^ 1, то а —тождественная подстановка. Если аф\ и gx, ...,g„ — некоторая приведенная последовательность, то
{ a, gi, g„, если gi Q В,
agi.....g„, если gt? A, Cg1=^l,
244__/V /У. Свободные произведения и НЫЫ-расширения_
из G=A*B имеет нормальную форму gj ... gn, то число я называется его длиной, в обозначениях \w\=n. Если u (a*, bj) — некоторое непустое слово от а; и Ь,-, то можно записать U=U1 . . . uk, где каждое Ut есть слово или только от at, или только от bj, никакое U1 не является пустым (хотя оно может быть тривиальным в G) и U1, иі+1 не лежат в одном множителе группы G. Подслова щ, . . ., uk называются слогами слова и. Понятно, что /ОН«|.
Из теоремы о нормальной форме непосредственно вытекает
Следствие 1.3 Если AuB- конечно порожденные группы с разрешимой проблемой равенства слов, то такова же и группа А*В. ?
