Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
239
При /г=2, как хорошо известно, группа H имеет конечное представление H=(a,b; а2=Ь3, а* = 1) (см. 1.4.5), следовательно, и группа G обладает конечным представлением. Кроме того, в принципе можно вычислить образующие и соотношения для G, приведенные в доказательстве предложения 13.1. Даже в простейших случаях это вычисление, выполненное шаблонно, становится громоздким, но, проведя его искусно, Бер и Меннике [1968] получили сравнительно простые представления таких групп.
Случай п=2 широко изучался, особенно Серром [1969]. Непосредственное упрощение состоит в гом, что уже функция di симметрична, т. е. d=di. Это вытекает из того факта, что, изменяя базис как для и, так и для v, мы можем всегда прийти к случаю, когда и имеет базис {а, ?}, a v — базис {pd<z, р~ где d=d{u, v). Кроме того, последовательность и0=и, щ, . . ., ud=v, где щ имеет базис {р'а, p~'?}, является геодезической от и к к; этим устанавливается связность множества V.
Серр ввел несколько иные определения, используя GL (2, R) там, где мы использовали SL (2, R). Он взял в качестве множества вершин V* множество классов эквивалентности о* модулей оК, где A. пробегает множество ненулевых скаляров, и определил расстояние между и* и V*, где и имеет базис (а, ?}, а ч — базис {раа, pb?}, формулой d* (и*, v*)=\a—b\. При этих определениях он показал, что V* есть дерево, а а* совпадает с длиной пути между вершинами. Он показал также, что индуцированное действие некоторых подгрупп из G*, содержащих SL (2, R), на множестве V* таково, что применима теория групп, действующих на деревьях.
ДЛЯ ТаКИХ Групп ОН ВЫВеЛ ИЗ ЭТОЙ Общей теории, ЧТО ЄСЛИ U* ViV* —
две вершины из V*, соединенные ребром u*v*, то G* есть свободное произведение стабилизаторов этих вершин G11, и C0. с объединенным стабилизатором ребра Gu.v,.
Серр использовал это в случаях р = 2 и уз = 3, передоказав конечную представимость для SL (2, R), полученную Бером и Меннике [1968]. Это можно также рассматривать как обобщение того факта, что SL (2, Z) есть свободное произведение циклических групп C4 и C4 с объединенной циклической подгруппой C2. Результат Серра в частном случае, которым мы ограничимся, содержится в одном утверждении, принадлежащим Ихаре [1966].
Предложение 13.3. Пусть р—простое число, a R—кольцо рациональных чисел вида a/pk, a, kQZ. Пусть H есть группа
es 0 (mod р), рассматриваемая как подгруппа в SL (2, Z). Тогда SL (2, R) есть свободное произведение двух экземпляров группы SL (2; Z)1 у которых объединены соответствующие подгруппыH. Q
всех целочисленных матриц
с определителем 1 и с=э
240 Гл. III. Геометрические методы
Следующий результат Нагао [1959] получен Серром теми же методами.
Предложение 13.4. Пусть F—поле, a F[t]—кольцо многочленов от одной переменной над F. Пусть, далее, T(F) — группа
невырожденных матриц над F, где с = 0, рассматриваемая
как подгруппа в GL(2, F), а также в GL (2, F[t]). Наконец, пусть T (F[г])—аналогичная подгруппа в GL (2, F[t]). Тогда GL (2, F[t]) есть свободное произведение экземпляров групп GL (2, F) и T(F[t]) с объединенными подгруппами T(F). ?
Краткое описание группы SL2 над локальными полями и одно из изложений теории Серра групп, действующих на деревьях, читатель найдет у Басса [1973]. О результатах, связанных с предло-jj жениями 13.3 и 13.4, см. ниже IV.6.9.
шия-Глава IV
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И HNN-РАСШИРЕНИЯ
1. Свободные произведения
В этой главе мы займемся определениями, свойствами и приложениями произведений групп, составляющих основу при построении комбинаторной теории групп. Начнем с изучения свободных произведений.
Определение. Пусть А и В— группы с представлениями A = = (di, . . .; Гі, . . .) и B=(blt . . .; sly . . .) соответственно, причем пересечение порождающих множеств {аь . . .} и {bu . . .} пусто. Свободным произведением AxB групп AnB называется группа
(1) A* B = Ka1, blt rlt ...,S1, .. .>.
Группы А и В называются множителями произведения А XB. Убедимся теперь в том, что свободное произведение не зависит от выбора представлений для групп А и В.
Лемма 1.1. Свободное произведение А*В однозначно определяется группами А и В. Кроме того, А*В порождается подгруппами А и В, изоморфными группам AuB соответственно, причем АГ\В=1.
? Пусть А' = Ка\, ...; г\, ...> и В' = <Ь[, s[, ...> —некоторые другие непересекающиеся представления для А и В соответственно и
(2) А'*В' = Ка[, V1, T1, S1, ...>.
Рассмотрим изоморфизмы гр: Л—у А' и %: В—* В'. Отображение гр*х: А* В—>¦ А' * В', заданное посредством формул а{ і—»гр (а,-) и bjt—*%(bj), является гомоморфизмом, поскольку соотношения переходят в соотношения. Отображение гр-1 * х-1, такое, что а'і^^'1 (а'і) и о/1—s-T,-1 (b'j), обратно к гр*х, откуда А'»В' =А*В. Пусть А — подгруппа в А#В, порожденная элементами a,-, a В—подгруппа в А*В, порожденная элементами йу. Ясно, что А * В порождена подгруппами А и В. Для доказательства изоморфизма A^A отобразим А в A, полагая и: a(i—^a1. Проекция лА группы А * В на А, определенная посредством а,-1—*а,, bj\—*.\} такова, что n^rj —тождественное отображение на Л.
