Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
G* = <G, t( (і Q I); tjlatt( = <p, (a,.), a, Q A(>.
2. Расширения Хигмана —Нейман — Неймана
249
Аналогично пусть {G1; і Ql}— семейство групп. Пусть А — некоторая группа и {ер,-; і Ql} — семейство отображений, таких, что каждое ср,-: А—> G,-— мономорфизм. Тогда свободным произведением групп Gі с объединенными подгруппами ц>;(А) называется группа
P = <*G,.; ф,-(а) = ф/(а), aQA, i,jQl>.
Принято изучать вначале основные свойства свободных произведений с объединенной подгруппой, а затем переходить к HNN-расширениям. Поскольку нам кажется, что по многим причинам стоит поступить наоборот, мы примем за основу конструкцию HNN-расширения.
Предположим, что G* = (G, t; г_1аї=ф(а), aQA), есть HNN-расширениё. Рассмотрим два определения, которые позволят нам сформулировать теорему о нормальной форме для HNN-расширений. До конца этого параграфа буква g, с индексами или без, будет обозначать элемент группы G. Если g рассматривается как слово, то это слово от порождающих группы G, т. е. в него не входит ни t, ни t~x. Буква е, с индексами или без, будет обозначать +1 или —1.
Определение. Последовательность go, P1, gi, ¦ ¦ ¦, tEn, g„ (п^О) называется приведенной, если в ней не встречаются подряд буквы t~\ gt, і, rmgiQ А, и t, gh t-\ где gjQB.
В своей основополагающей статье Хигман, X. Нейман и Б. Нейман доказали, что G вкладывается в G* с помощью отображения gi—»g. Остальную часть теоремы о нормальной форме для HNN-расширений доказал Бриттон [1963], и этот результат обычно называют леммой Бриттона 1).
Лемма Бриттона. Если последовательность g0, te', . . ., tEn, gn приведена и п^\, то g0t^ . . .te"gn=?=\ в G*. D
Произведения элементов двух различных приведенных последовательностей могут оказаться равными в G*. Чтобы действительно получить нормальную форму, нужны некоторые уточнения. Выберем некоторое множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе А и множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе ?. Мы будем предполагать, что 1 является представителем как А, так и В.
Выбранные множества не меняются до конца обсуждения. Если gQG, то через g обозначается представитель смежного класса Ag, а через g —смежного класса Bg.
Определение. Нормальная форма — это последовательность go, tR>, te",g„ («>0), в которой
г) Каноническая форма элементов HNN-расширения по существу была введена П. С. Новиковым [1954].— Прим. ред.
250_Гл. IV. Свободные произведения и ЮіИ-расширения
(і) g„ — произвольный элемент из G,
(H) если в,= — 1, то g,-— представитель некоторого смежног класса по А в G,
(iii) если е,-=+1, то gi — представитель смежного класса п UbG1
(iv) нет последовательных вхождений tE, 1, t~E.
Следующее рассмотрение и пример иллюстрируют наше опре деление нормальной формы. Определяющие соотношения
(1) t^at = ф (а), а Є А,
HNN-расширения могут быть записаны в виде
(2) t~la = ф (а) г"1. Сопрягая обе части соотношения (1), можно получить
(3) tbt~l = ф~1 (Ь), Ь?В, что эквивалентно равенству
(4) tb = q>-l(b)t.
На соотношения (2) и (4) можно смотреть как на квазикомму та-тивность. Эти соотношения позволяют перебросить элемент а ?А через t'1 справа налево, заменив его при этом на ф(а). Аналогично можно перебросить b Z В через t справа налево, заменив его при этом ня ф-1(6). Двигаясь такими шагами справа налево, мы можем каждый элемент из G* привести к виду gQte< . . . te"gn, где последовательность go, Z8', , . ., /г", gn — нормальная форма.
Пример. Пусть F= (с, d). Положим F* = (с, d, t; t~xct=d}). Поскольку end2 имеют бесконечный порядок в F, F* является HNN- • расширением группы F. В качестве представителей смежных классов по подгруппе A = (с) выберем все свободно приведенные слова cud, которые не начинаются с с. Множество представителей классо по ?=(d2> состоит из всех свободно приведенных слов от с и d которые не начинаются ни о какой степени элемента d, за исключением, возможно, dK.
Пусть
w=cdt-Ic3tdicdt-xcadt.
Вычислим нормальную форму для w, двигаясь справа налево. Поскольку представитель для Ac3d3— это d3 и t~lc9=dit~%, имеем
W=CUt-IcHdHCd11-4\
Поскольку представитель для Bdtcd1 рявен deep и tdi=c4, имеем
W=CdI-1CHdCdH-1CiK
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана_251
Из соотношения t-lcs4=d10 получаем
W=Cd12CdH-1U*,
где Cd12Cd1, t-1, d3 — уже нормальная форма.
Теорема о нормальной форме имеет две эквивалентных формулировки (I) и (II). Заметим, что (I) — это комбинация теоремы Хигмана, Нейман и Неймана с леммой Бриттона.
Теорема 2.1. (Теорема о нормальной форме для HNN-расши-рений.) Пусть G* = <G, t; t^at = ср(а), a QAy — некоторое HNN-расишрение. Тогда
(I) Группа G вкладывается в G* посредством отображения gi-*-g. Если g0tE> ... te"gn = 1 в G*, где п~^\, то последовательность g0, /є>, ..., ttn, g„ не является приведенной.
(II) Каждый элемент w группы G* имеет единственное представление w = g0tSi ... t*"gn, где последовательность ga, t*\ ... • • •> te"> gn —нормальная форма.
? Докажем сначала, что формулировки (I) и (II) эквивалентны. Предположим, что имеет место утверждение (II). Понятно тогда, что G вкладывается в G* при отображении g>—>g, поскольку нормальной формой элемента g является последовательность g. Предположим теперь, что g0, te<, git te», gn — приведенная последовательность с n^l. Двигаясь справа налево, можно перейти к нормальной форме go>'E'>?i> ¦ • ¦, te", g'n с тем же числом /-символов. Таким образом, g0fE< . . . t*ngn^\. Предположим теперь, что верно (I). Допустим, что
