Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема ІДО. (Теорема Куроша о подгруппах). Пусть G =#Лг и H — подгруппа в G. Тогда H является свободным произве дением H=F*(*H)), где F — некоторая свободная группа, а каж doe Hj — это пересечение подгруппы H с некоторым сопряженны какого-либо множителя Ai группы G. ?
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой
В этом разделе мы введем две конструкции, играющие основну роль в комбинаторной теории групп. Это свободное произведени с объединенной подгруппой (введенное Шрайером в 1926 г.) и.рас ширения Хигмана — Нейман—Неймана (введенные Г. Хигманом Б. Нейманом и X. Нейман в 1949 г.). С самого начала сделаем уда рение на том, что эти конструкции во многом параллельны, так ч лучше всего смотреть на них, как на две составляющие одного
. . .+гп.
SftU :
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана 247
того же основного понятия. Более того, несколько позднее мы дадим единую схему (введенное Столлингсом понятие биполярной структуры) для обеих конструкций.
Дадим теперь определение этих конструкций. Пусть
G = Oc1, rlt ...> и Я = <«/„ ...; S1, ...>
— некоторые группы. Предположим, что A<=G и B^H — некоторые подгруппы в этих группах, такие, что существует изоморфизм ф: А-+В. Тогда свободным произведением групп GuHc подгруппами А и В, объединенными посредством изоморфизма ф, называется группа
<х„ уи ...; T1.....S1, ..., а = ф (a), a Є Ay.
Условимся об одном обозначении. Если G — некоторая группа с заданным представлением, то запись
<G, 2, ...; и, .. .>
обозначает, что к порождающим и определяющим соотношениям группы G присоединены выписанные добавочные порождающие и определяющие соотношения. Имеется в виду, что любые дополнительные порождающие отличны от порождающих группы G. Это позволяет нам записать свободное произведение с объединенной подгруппой в виде
<G*#; а = ф(а), а?Л>.
Иногда это обозначение будет даже сокращаться до
<G*#; A = B, ф>.
Основная идея свободного произведения с объединенной подгруппой состоит в том, что подгруппа А отождествляется со своим изоморфным образом ф(Л)еЯ. Свободное произведение с объединенной подгруппой зависит от G, Н, А, В и изоморфизма ф. Группы G и Я называются множителями свободного произведения с объединенной подгруппой, а А и В называются объединенными подгруппами.
Будем называть отныне расширение Хигмана — Нейман — Неймана просто HNN-расширением. Дадим определение этой конструкции. Пусть G — группа, А и S — ее подгруппы, а ф: А-+В — изоморфизм. Назовем HNN-расширением группы G относительно А, В и ф группу
G* = <G, t; t-lat = y(a), а?А>.
Группа G называется базой группы G*, t — проходной буквой, а А и В — связанными подгруппами.
Заметим, что как свободное произведение с объединенной подгруппой, так и HNN-конструкции включают в себя две подгруппы
248
««•ваш**»'' ,
Гл. IV. Свободные произведения и ННН-расширения
и изоморфизм между ними. Нестрого говоря, данные конструкции t представляют собой то, что можно назвать «несвязным» и «связным» вариантами одной и той же основной идеи. В свободном произведении с объединенной подгруппой Л и В —подгруппы разных групп G и Я. В HNN-расширении AuB уже содержатся в одной группе.
Для читателя, знакомого с фундаментальными группами, дадим маленький обзор топологической ситуации, часто служащей обоснованием для изучения свободных произведений с объединенной подгруппой. Предполагается, что все рассматриваемые пространства и подпространства линейно связны. Если X — некоторое 4 топологическое пространство, то п., (X) обозначает фундаменталь- » ную группу этого пространства. Пусть XnY — пространства и \ U, V — открытые линейно связные подпространства в X и У соответственно, такие, что имеется гомеоморфизм h : U-+V. Выберем начальную точку и Q U для фундаментальных групп пространств U и X. Аналогично выберем начальную точку h (u)=v Q V. Существует гомоморфизм п. : K1(U)^n1(X), определяемый рассмотрением петли ; в U как петли в X. Предположим, что ц и аналогично определяемый ! гомоморфизм б : K1(V)^n1(Y) инъективны. Гомеоморфизм h ин- : дуцирует изоморфизм h* : K1(U)-^n1(V). Предположим, что мы; отождествили U и V посредством h и получили новое пространство . Z. При сделанных предположениях теорема Зейферта — ван Кам- І пена (см. Масси, Столлингс [1977]) гласит: I
л, (Z) = ^1 (X)* я, (Y); л, (U) = Ti1 (V), /і*>. 1
Похожей топологической интерпретацией обладает HNN-pac- I ширение. Предположим, что U и V — подпространства некоторого ,; линейно связного пространства X. Пусть UaV удовлетворяют тем і же предположениям, что и выше. Обозначим через / единичный ин- і тервал и образуем C=UxI. Отождествим U X {O) с U и U X {\} с V I посредством гомеоморфизма h. Пусть Z — полученное пространство. 8 (Фактически мы присоединили ручку к X.) Снова с помощью теоре- і мы Зайферта — ван Кампена получаем \ *
Ji1- (Z) = <я, (X), t; t-int (U) t = щ (V)>. J й
Для удобства обозначений мы рассмотрим случай HNN-pac- |, ширений с одной проходной буквой. Общая же ситуация такова. Пусть G-группа, / — множество индексов. Предположим, что даны семейства {A1; і Ql) и {Bt; і Ql) подгрупп группы G и семейство {ф,; і Q I) отображений, таких, что для каждого і Ql отображение ф,-: А{-^В( — изоморфизм. Тогда UNN-pactuupe-нием с базой G, проходными буквами t{, іQI, и связанными подгруппами Ai и Bi, і QI, называется группа
