Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 2.3. Пусть и =g0te> ... tR"gn и v = h0t^ ... tb™hm — np веденные слова. Предположим, что u = v в GV Тогда т = п 6,- = 8,, f= 1, .. .,п.
? Из u = v получаем
1 =g0t*> ... t*ngnh-4-bm ... t-^ho1.
Поскольку и и V—приведенные слова, единственный случай, пр котором последовательность перестает быть приведенной,— э когда en=8m, a gnh„\l лежит в подходящей подгруппе А или Производя последовательные Z-редукции, видим, что H1=O1 для все і и п=т. ?
Припишем каждому элементу z ? G* длину следующим образо Пусть w —произвольное приведенное слово из G*, представляющ г. Если w=g0ts> . . .fingn, то длиной г, в обозначениях \г\, назы ется число п вхождений буквы Iі1 в w. Согласно предыдущей лемм длина определена корректно. По этому определению длины вс элементов g из базовой группы G равны нулю.
В HNN-расширениях естественным образом определяются ц клически приведенные элементы. Именно: элемент W=g0te' .. . . Л&" называется циклически приведенным, если все циклическ перестановки последовательности g0, /8і, . . ., te" приведены. П нятно, что каждый элемент группы G* сопряжен с некоторым ц клически приведенным элементом.
Теорема 2.4. (Теорема о кручении в HNN-расширениях Пусть G* = (G, t; t-*At=B, ф) — некоторое UNN-расширен Тогда каждый элемент конечного порядка в G* сопряжен с некотор елементом конечного порядка базовой группы G. Таким образом, G* имеются элементы порядка п тогда и только тогда, когда так элементы имеются в G.
? Доказательство то же самое, что и для случая свободных п изведений. Если и — некоторый элемент из G*, рассматриваем е., циклически приведенное сопряженное V=g<jtei . . . te"gn. Есл /Qsl, то
Vm=g0tei . . . te"g0t* .. . t*" ... g0t^ ...t*"=?l
по лемме Бриттона. ?
Теорема о сопряженности для HNN-расширений принадле; Коллинзу [1969] и обычно называется леммой Коллинза.
Теорема 2.5. (Теорема о сопряженности для HNN-расшир ний.) Пусть G* = <G, /; t~lAt = В, ф> — некоторое HNN-расшир
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
255
чае. Пусть н = g0Z8< ... te", n^l, и v —сопряженные циклически приведенные элементы из G*. Тогда \u\ = \v\ и и можно получить из V, беря подходящую циклическую перестановку v* элемента V, оканчивающуюся на te", и сопрягая затем элементом г, где z Q А, если еп =— 1, и г Q В, если е„=1.
? Будем доказывать индукцией по IcI, что если v*— произвольная циклическая перестановка слова v, которая оканчивается на Z-символ, и су*с-1=», то выполняется заключение теоремы. Если IcI=O1 то -
?„/*< ... tE» = c/i0Z6' ... Z6'"c_1 или 1 = go^, ... te"ct-6"> ... t-6U0-1C-1. .
Поскольку единственная возможная /-редукция получается на месте ге"сг_вт, то должно быть с Q А, если ел = — 1, и с QB, если еп=1. Рассматривая последовательные Z-редукции так же, как и в доказательстве леммы 2.2, получаем п = т и, более того, 6, = 8,., Z = 1, ..., п.
Предположим теперь, что приведенная форма для элемента с имеет вид c = c0t"i^ ... f>k-1ck_lt"[/>!ck, где /г ^ 1. Тогда
и = c0i*v. ... fk-lc^kc^t^ki ... ¦ ¦ ¦ K-it^Ck't-^c^j-n-x ... t-V'c;1. (*)
Поскольку и циклически приведено, в правой части равенства должны произойти некоторые /-редукции. Единственные возможности—это /7ftcfttt0/6' и /fi"ic*l/"v*. Для определенности пусть Ya = — 1 и ckh0Q А. Тогда O1 = I и
t~1ckh0t = bQB. (*»)
Поскольку yk = — 1, то, используя последнее равенство и вставляя член bb~x, переходим от (*) к
« = c0/v. ... /v*-Ic^1Wz1/0'.. .t&'"Ckltbb-1Cki1t~yk-1.. ./-V-C0-1. (***)
Из (**) имеем tb = ckh0t, откуда, заменяя подчеркнутое вхождение члена tb в (***), можно получить
и = c0/v. ... /Va-Ic^1O(Zi1Z6« ... hm_1t(""hBt)b-1ck1-1t;^-x ... t-^c0\
Поскольку средний член является циклической перестановкой слова V, можно применить предположение индукции.
Если же теперь u=zv*z~x, где г из Л или В, то из леммы 2.3 выводим, что последовательность букв t±x в и* в точности та же, что ч в и. ?
256 Гл. IV. Свободные произведения и WW-расширения
Перейдем к свободным произведениям с объединенной подгруппой. Пусть GnH — группы с подгруппами A ^G и ?s#, причем Ф : Л-*Б — изоморфизм. Построим группу
Ее можно рассматривать как факторгруппу свободного произведения G*H по нормальной подгруппе, порожденной множеством (аф(а)-1; aQ А). Последовательность C1, . . ., с„, п^О, элементов из G*H называется приведенной, если
(1) каждое Cj лежит в одном из множителей G или Н,
(2) последовательные ct, C1+1 лежат в разных множителях,
(3) если /г>1, то никакое ct не лежит ни в Л, ни в В;
(4) если я==1, то C1=T=I.
Понятно, что каждый элемент из P равен произведению элементов некоторой приведенной последовательности. С другой стороны, верна
Теорема 2.6. (Теорема о нормальной форме для свободных произведений с объединенной подгруппой.) Если Cu . . ., Cn — приведенная последовательность, п^\, то произведение C1 ... Cn отлично от 1 в Р. В частности, GuH вкладываются в P посредством отображений gi—>g и fn—>h.
? Группа P* = <G*#, t; і~гаі = ф (a), a Q Л> является HNN-pac-ширением свободного произведения G*H. Определим гр: P —»- F* полагая
