Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Отображение гр .является гомоморфизмом, поскольку определяю-1 щие соотношения для P переходят в 1. Если п=1 и 1 ==? C1 = а Є Л, то гр(а) = /-1аг = ф(а)=/= 1. Во всех остальных случаях гр переводит приведенную последовательность C1, ...,сп элементов из P в приведенную последовательность элементов из F*. (Например, ^>{h1g1hig2) = h1t-1g1th2t~1gj, причем для всех і имеем ?,-$Л, h{ ^B). Поэтому доказываемая теорема вытекает из теоремы о нормальной форме для HNN-расширений. ?
Как и в случае HNN-расширений, имеется эквивалентная формулировка теоремы о нормальной форме, в которой речь идет о представителях смежных классов по Л и В, причем получается однозначное представление элементов.
Предыдущее доказательство показывает, что на самом деле о бражение гр является вложением. Таким образом, группа P из морфна подгруппе в F*, порожденной группами t~lGt и Н.
P = <G*H; а = у {а), а?А>.
{
1Mg) = '"1^. если g?G, гр(/і) = /г, если h Є Н.
3. Некоторые теоремы о вложении
257
Последовательность C1, . . ., сп элементов из P называется циклически приведенной, если все циклические перестановки этой последовательности приведены. Как и прежде, любой элемент из P сопряжен с циклически приведенным элементом. Теорема о кручении для свободных произведений с объединенной подгруппой доказывается обычным способом.
Теорема 2.7. (Теорема о кручении.) Каждый элемент конечного порядка в P= (G*#; A=B, ц>) сопряжен с некоторым элементом конечного порядка в G или П. ?
Теорема о сопряженности для свободных произведений с объединенной подгруппой (см. теорему 4.6 Магнуса, Карраса и Соли-тэра) выводится из леммы Коллинза точно так же, как теорема о нормальной форме для свободных произведений с объединенной подгруппой выводится из теоремы 2.1.
Теорема 2.8. (Теорема о сопряженности для свободных произведений с объединенной подгруппой.) Пусть P={G*H; A=B, ср) — свободное произведение с объединенной подгруппой. Предположим, что U=C1 . . .Cn— циклически приведенный элемент из Р, где п^2. Тогда каждое циклически приведенное сопряженное элемента и может быть получено циклической перестановкой элемента C1 . . . сп и последующим сопряжением элементом из объединяемой части А. ?
Результаты изучения основных свойств HNN-расширений позволяют доказать несколько замечательных теорем. В своей статье 1949 года Хигман, Б. Нейман и X. Нейман доказали следующий знаменитый результат.
Теорема 3.1. Каждая счетная группа С может быть вложена в группу G, порожденную двумя элементами бесконечного порядка. Группа G обладает элементом конечного порядка тогда и только тогда, когда такой элемент есть в С. Если С конечно представлена, то такова же и G.
? Предположим, что группа C= <с,, с2, ...; S1, ...> задана счетным множеством порождающих. Пусть F = C*<.a, by. Мно-, жество
свободно порождает свободную подгруппу в \а, by, поскольку °но нильсеновски приведено. Подобным же образом множество
3. Некоторые теоремы о вложении
{a, b~xab, b-*ab2, ..., b~nabn
¦¦¦}
{b, c1a~1ba
, .... cna-"ban, ...}
M 653
258 Гл. IV. Свободные произведения и ЛШ^-расширения
свободно порождает свободную подгруппу в F. (Чтобы проверить это, следует рассмотреть проекцию я группы F на <а, by, такую, что ai-n-a, b*->b, с,н->-1 для всех і. Поскольку образы b, а~'Ьа'\ i'^l, — свободные порождающие, то же можно сказать и об указанном множестве.)
Таким образом, группа
G = <F, t; t-'at = b, t-lb-'ab't = cfl-'ba1, і>1>
является HNN-расширением группы F. Значит, С вкладывается в G. Из определяющих соотношений немедленно получается, что группа G порождается элементами t и а. Из теоремы о кручении в HNN-pa-сширениях следует, что в G есть элемент порядка п в том и только том случае, когда он есть в С. Предположим, наконец, что C= = (си . . ., ст\ Si, . . ., sh) конечно представлена. Соотношения из определения HNN-расширения t~lat=b, t~1b-'abit=cia~ibai легко устраняются применением преобразований Тице, поскольку каждое из этих соотношений содержит единственное вхождение некоторого порождающего (именно b или C1). ?
Следующая теорема принадлежит Б. Нейману [1937].
Теорема 3.2. Существует 28» неизоморфных 2-порожденных групп.
? Пусть S — произвольное множество простых чисел. Положим T5=^1Cp, где Cp — циклическая группа порядка р, и вложим каж-
дую такую группу T3 в некоторую 2-порожденную G5 способом предыдущей теоремы. Группа T3, а значит, и G3 обладают элементами порядка р тогда и только тогда, когда р Q S. Из существования 28» различных множеств простых чисел следует, что и групп G5 не менее 2х». ?
Одна из теорем о вложении, доказанных в оригинальной статье Хигмана, Б. Неймана и X. Нейман,— это
Теорема 3.3. Любая счетная группа С может быть вложена в счетную группу G, в которой все элементы одного и того же порядка сопряжены.
? Вначале следует вложить группу С в группу С*, в которой любые два элемента из С одного и того же порядка сопряжены. Для этого надо рассмотреть множество {(aiy bt); іQl} всех упорядоченных пар элементов группы С, имеющих одинаковый порядок. В этом случае группа
С* = <с, t„ і QI; t,0^ = 0., iQl>
