Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
обладает нужным свойством. Для доказательства теоремы положим G0=C Используя индукцию, предположим, что G; уже определена.
3. Некоторые теоремы о вложении
259
Вложим G1 в группу G1+1 так, чтобы в ней все элементы одного и того же порядка группы Gj были сопряжены. Тогда группа
QO
G*= U G1
і = 1
имеет все необходимые свойства. ?
Напомним, что группа G называется полной, если для каждого элемента g Z G и каждого натурального п уравнение g=y" разрешимо в G. (Другими словами, из каждого элемента извлекается корень степени п для любого п.)
Теорема 3.4. Любая счетная группа С может быть вложена в счетную полную простую группу G.
? Сначала вложим С в счетную группу К, в которой есть элементы всех порядков. (Такова, например, прямая сумма групп С, Z и циклических групп порядка п для всех п.) Вложим затем К#{х) в 2-порожденную группу U, в которой оба порождающих имеют бесконечный порядок. Наконец, вложим U в счетную группу G, в которой все элементы одинакового порядка сопр5»жены. В итоге мы получаем вложения
С —+К —>¦ К * <х> —<-?/—> G.
Утверждается, что группа G одновременно проста и полна. Пусть 1=?ZV<]G. Поскольку К содержит элементы всех порядков и все элементы одного и того же порядка сопряжены в G, группа N содержит элемент l=v=2 ^ /С. Далее, X-1Z-1X ? N, так что X-1Z-1XZ — элемент из бесконечного порядка. Отсюда по свойству сопряженности в G следует, что и порождающие группы U лежат в Af. Таким образом, K=U^N. Поскольку К содержит элементы всех порядков и все элементы одинакового порядка сопряжены в G, то N=G.
Для проверки полноты рассмотрим g Є G1 и пусть п — произвольное натуральное число. Пусть т — (возможно, бесконечный) порядок элемента g. Поскольку G содержит элементы всех порядков, в G есть элемент z порядка тп. Так как г" имеет порядок т, существует t>6G, такой, что g=v-1z"v. Следовательно, g== (v- 1Zv)". ?
Согласно последней теореме и тому, что существует 2х» групп с двумя порождающими, счетных простых неизоморфных групп Должно быть не менее 2S». (Любая отдельно взятая счетная группа содержит не более чем So подгрупп с двумя порождающими.) Большинство способов для построения бесконечных простых групп приводит к группам, которые не являются конечно порожденными. Первое доказательство существования конечно порожденной простой бесконечной группы было дано Хигманом лишь в 1951 году. Вра-
9*
260 Г л. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
боте Камм [1953] построено 2х» неизоморфных 2-порожденных простых групп без кручения. Замечательная теорема Ф. Холла [1974] утверждает, что каждая счетная группа может быть вложена в конечно порожденную простую группу. Число порождающих было впоследствии понижено А. П. Горюшкиным [1974] и Шуппом [1976] до двух. Теорема Холла будет доказана нами с использованием одной конструкции Рабина [1958], хорошо известной в связи с доказательствами неразрешимости проблемы распознавания ряда теоретико-групповых свойств. (К алгоритмическим проблемам мы обратимся в следующем разделе.) В изложении конструкции Рабина мы следуем работе Миллера III [1971].
Теорема 3.5. Каждую счетную группу С можно вложить в простую группу с шестью порождающими.
П Вначале вложим С в счетную простую группу 5. Затем вложим свободное произведение S*<x> в 2-порожденную группу U, выбранные порождающие U1 и U2 которой имеют бесконечны^ порядок. Тогда группа J
J = KU, ух, у2; У1ХЩУг = и1, УгХигуг = и\> Щ
является HNN-расширением группы U с проходными буквами щ и у2. Группа ~
K = <J, г; Z-^y1Z = у\, г~1у2г = у22у
является HNN-расширением группы J. Рассмотрим теперь группу
Q = Kr, s, t; S-1TS = T2, (-1St = S2}.
Полагая P= (г, s; S-1TS=T2), видим, что P — это HNN-расши-рение группы (г), a Q есть HNN-расширение группы P с проходной буквой t. Утверждается, что г и t свободно порождают свободную подгруппу ранга 2. Действительно, пусть V — произвольное нетривиальное свободно приведенное слово на г и t; предположим, что V=I в Q. Если Уне содержит t, то оно совпадает с г" при некотором пфО. Однако т имеет бесконечный порядок в Q, так что это невозможно. Поэтому V содержит /. По лемме Бриттона, примененной к Q над Р, слово V содержит подслово teRt~e, где R не содержит / и лежит в подгруппе (s) или (s2) в зависимости от знака є. Поскольку V свободно приведено и содержит только / иг, подслово R должно иметь вид г" для некоторого пфО. Таким образом, в P выполняется равенство rn=sJ, где пфО. Однако это невозможно по лемме Бриттона, примененной к Р. Итак, мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
Пусть w — элемент группы S, такой, что тфі. Коммутатор [w, X]=W-1X-1WX имеет бесконечный порядок в U. Как и в доказательстве предыдущего утверждения, видим, что [w, х] и z свободно
3. Некоторые теоремы о вложении 261
порождают свободную подгруппу в К. Это позволяет рассмотреть свободное произведение
D = <K*Q; г = г, t = [w, х]у
с объединенной подгруппой.
Утверждается, что если N<]D, то N f\ S= (1} или N=D. Действительно, предположим, что N С\5Ф{\). Поскольку S проста, wQN. Таким образом, в факторгруппе DIN выполняется w= 1. Однако сейчас мы увидим (это основной пункт конструкции Рабина), что из w= \ следует D1N={\}. В самом деле, из w= \ следует [w, х] = \, откуда, используя определяющие соотношения, получаем t=\, S=I, т=\, z=l, #1 = 1, #2=1, Ui=I и U2=L Таким образом, N=D.
