Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
c) Если К — поле, покажите, что [P, Q, М, <р* (M) ] = k, где Р, Q — точки пересечения Дм с P (X), P (Y).
7. Пусть %>, <?' — два аффинных пространства над одним и тем же телом К, & и их проективные пополнения и ф: <§Г такая томография, что ф ) = ^00-
a) Покажите, что ограничение ф на ^ является полуаф--финной биекцией, ассоциированной с внутренним автоморфизмом тела К. (Полагая & = P (E), = P (E') и считая ф индуцированным линейным отображением /: E-+E', можно отождествить , соответственно с гиперплоскостями в Е, E' и доказать существование такого к є К*, что переводит <§Г в <Г'.)
b) Получите тот же результат в случае конечной размерности /г, используя в Ж и однородные координаты, в которых уравнение бесконечно удаленной плоскости имеет вид Xn+1 == 0.
c) В случае &' = <g покажите, что ф является гомологией (соотв. гармонической гомологией, элацией) гиперплоскости % оо тогда и только тогда, когда ее ограничение на & является гомотетией (соотв. центральной симметрией, трансляцией).
8, Покажите, что в проективном пространстве композиция двух гармонических гомологии с общей гиперплоскостью и различными центрами является элацией. Обратно, в случае когда характеристика основного тела Ф2, покажите, что каждая элация может быть представлена как произведение двух гармонических гомологии (см. упр. II. 14).
Пусть А, В, А'В' — четыре точки проективной плоскости П, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Покажите, -что существуют единственная гармоническая гомология и единственная элация, переводящие (А, В) в (A', В'). (Можно предположить, что характеристика тела Ф2.)
10. Пусть P (E)— проективное пространство размерности ^2, J27 — проективная гиперплоскость, S — точка P (E) и А, А' — двз точки в Р(Е)\3?, коллинеарные с S и отличные от S. Покажите, что существует единственная гомология или элация ф пространства P (E) с центром S и гиперплоскостью J?, такая, что ф(Л) = А',
286
УПРАЖНЕНИЯ
Указания. Единственность ср получается из «правил перспективы» (см. конец § 3). Для доказательства существования ф можно отправить SB в бесконечность, и тогда дело сведется к отысканию дилатации аффинного пространства P (E) \ SB (см. упр. 7). Можно также воспользоваться упражнением II. 14 для построения автоморфизма Е, индуцирующего ф.
Приложение. Пусть i?, — две проективные гиперплоскости проективного пространства P(E) и S, S'— две точки в P (E) \ (2? u 3?'). Обозначив через р проектирование 57 на SB' из центра S, а через q — проектирование S' на І27 из центра S'r дайте строгое доказательство того, что q ° р есть гомология или? элация 2?.
11. В проективной плоскости П два треугольника (ABC) » (А'В'С) расположены так, что прямые (AA'), (BB') и (CC) различны и пересекаются в одной точке. Покажите, что теорема Дезарга равносильна существованию гомологии или элации, переводящей (ABC) в (А'В'С). (Воспользуйтесь предыдущим упражнением.)
12. (Обобщение теоремы Дезарга.) Пусть P (E) есть п-мерное проективное пространство и (Л0, ..., An) (соотв. (Л0, ..., А— система п + 1 точек, не принадлежащих одной гиперплоскости, таких, что АкФАк при всех k, и прямая (Л^Л^,) не содержит ни одной из точек Ah, A*h при h Ф k. Предположим также, что* при Ігфіг прямые (AkAh) и (Л^Л^) имеют одну общую точку Pkh и все точки Pkh лежат в одной гиперплоскости SB.
a) Покажите, что все прямые (Л^Л^) имеют общую точку S+
b) Выведите отсюда, что существует такая гомология или элация ф с центром S и гиперплоскостью SB, чтоф (Ak) = Ak для всех к.
13. Пусть ф — томография проективного пространства P (Е)г оставляющая неподвижной каждую точку некоторой гиперплоскости и не совпадающая с тождественным отображением; допустим еще, что dim P (E) ^ 2.
a) Покажите, что каждая проективная прямая Д, содержащая точку MeP(E)X^ вместе с ее образом при ф, переходит в себя.
b) Пусть Л, В — две точки в р(?)\^ и А', В' —их образы. Покажите, что прямые (AB) и (А'В') пересекают SB в одной и той же точке.
c) Покажите, что можно выбрать точки Л и В так, чтобы прямые (AA') и (BB') были различны, и что в этом случае они имеют общую точку S, неподвижную при томографии ф. Покажите далее, что все прямые (М, <р(М)) проходят через S (если S^S7, это получается сразу; если же S є= 57, то можна Выведите отсюда, что ф является гомологией или элацией. (Это» можно доказать также, отправляя SB в бесконечность.)
УПРАЖНЕНИЯ
287
14. Пусть P (E) — проективное пространство размерности ^ 2, S — точка в P (E) и ф — гомография, сохраняющая все прямые, проходящие через S.
a) Пусть Л, В — две точки P (E), не лежащие на одной прямой с S, и Л', В' — их образы. Покажите, что прямые (AB) и (A'В;) пересекаются в неподвижной точке томографии ф.
b) Пусть S — множество полученных таким путем неподвижных точек ф. Применяя теорему Дезарга, покажите, что произвольная проективная плоскость П, проведенная через S, пересекает 2? по прямой и что ограничение ф на П является гомологией или элацией.
c) Покажите, что любая прямая, соединяющая две точки из 9?, содержится в 2?\ выведите отсюда, что 9? — гиперплоскость (см. предложение 12.1) и что ф — гомология или элация. (Это можно также доказать, удаляя точку S в бесконечность.)
