Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 89

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 97 >> Следующая


b) Назовем секущей пучка любую проективную прямую, не пересекающую L Л М. Покажите, что гиперплоскости с уравнениями ф я 0, г|э = 0, Хер + = 0, Хер — |хг|? = 0 определяют гармоническую четверку на каждой секущей. (Воспользуйтесь параметрическими уравнениями секущей.)

c) Докажите более общий результат: четыре гиперплоскости с уравнениями Xtcp -f- = 0 (і = 1, 2, 3, 4) определяют гармоническую четверку на каждой секущей тогда и только тогда, когда точки (Xi1 образуют гармоническую четверку в р1 (К) (тогда говорят, что эти гиперплоскости образуют гармоническую четверку). Выведите отсюда обобщение теоремы IV. 7.1 и дайте этому обобщению прямое геометрическое доказательство (для сравнения четверок на секущих А, А' можно пользоваться вспомогательной секущей, имеющей общие точки и с А и с А', и применять теорему IV. 7.1).

d) Предполагая К коммутативным, покажите, что двойное отношение точек пересечения четырех гиперплоскостей XiCp -f- pity = 0 с секущей равно двойному отношению точек <Xi} {її} прямой P1 (К).

25. Покажите, что фигура, двойственная гармонической четверке точек, есть гармоническая четверка гиперплоскостей (см. предыдущее упражнение.)

290

УПРАЖНЕНИЯ

26. Пусть P (E) — проективное пространство над полем характеристики ф% Обозначим через L, M две гиперплоскости в P (E) и через S точку в P(?)\(LUM).

a) Покажите, что геометрическое место точек, гармонически сопряженных с 5 относительно точек пересечения с Ly M секущей, проходящей через St является гиперплоскостью (см. упр. 24).

b) Выведите из этого, что существует гармоническая гомология с центром Sy меняющая местами LuM.

Случай, когда основное тело есть R или С

27. Пусть Sn — сфера в R^+1, определенная уравнением ^ х\ = = 1.

a) Каждой паре (ху —л:) диаметрально противоположных точек Sn поставим в соответствие точку р(х) в P(Rn+l). Покажите, что таким путем получается биекция P(Rtt+1) на фактормножество Sn по соответствующему отношению эквивалентности.

b) Каждой паре (Л, В) точек P (Rtt+1) поставим в соответствие действительное число d(AyB)—радианную меру острого угла, образованного прямыми р~1(А) и р~1(В). Покажите, что таким образом можно определить расстояние в Рп (R), и найдите множество точек, равноудаленных от двух данных. Каковы томографии, сохраняющие это расстояние?

28. Пусть .S — сфера в R3 с уравнением х2 + у2 -f- z2 — г = 0. Проверьте, что инъекция C->S:

, . / X у X2 + у2 \

* + ^ W4-*2+*/2 ' \+х2 + у2> \+х* + у2)

продолжается с помощью предельного перехода до биекции P^C) = CU(Oo} на S. (В теории функций комплексного переменного множество C(J {оо}, отождествленное с S, называется «сферой Римана».)

29. а) Дайте геометрическую интерпретацию двойного отношения четырех различных элементов a, b, с, d є= С с помощью отношений CAjCBy DAIDB и величин углов (CA, CB), (DA, DB). Здесь А, В, С, D обозначают точки с аффиксами а, Ъ, с, d.

b) Покажите, что [а, Ь, с, d] є= R тогда и только тогда, когда точки А, В, С, D лежат на одной прямой или окружности. Для проверки вычислите [eitly еІІ2, e(t\ е І4], где (ti, t2i ts, /4) є= g=R4.

c) Как следует выбирать точки Л, В, С, D для того, чтобы модуль \а, by с, d] был равен 1 ?

d) Для данных точек А, В, С постройте такую точку D, чтобы [а, о, с, d] =—1, и проверьте, что инверсия с центром в Л преобразует точки В, С, D в точки В\ С, D', такие, что В' является серединой отрезка [С//У].

УПРАЖНЕНИЯ

291

30. (Формула Лагерра.) Пусть Du Z)2- прямые евклидовой плоскости R2 с уравнениями у = п\\Х, у = т2х и Э — угол между ними. Проверьте, что [ти гп2, і, — /] = е~/е. Получите отсюда интерпретацию угла в терминах двойного отношения прямых, используя инъективное отображение R2 в С2.

31. Томографии прямой P^C)=CU(0o}. Ниже С отождествляется с евклидовой плоскостью R2.

a) Проверьте, что томографии P1 (С) представляются в виде

<р: z і—> ^^ ^ » где ad — ЬсфО и в случае сФО приняты соглашения ф (оо) =s а/с, ф (—d/c) = оо.

b) Проверьте, что томографии P1 (С) разлагаются в произве-ведение трансляций, преобразований прямого подобия и (при с Ф O) томографии z і—> l/z. Выведите отсюда, что они являются конформными преобразованиями евклидовой плоскости (т. е. сохраняют ориентированные углы между любыми кривыми) и переводят любую прямую или окружность снова в прямую или окружность.

c) Обратно, пусть / — биекция P1 (С), преобразующая каждую прямую или окружность в прямую или окружность. Используя композицию / с томографией, покажите, что дело сводится к случаю /(оо) = оо, и выведите отсюда, что / — томография или антигомография (биекция вида г і—> (а2 + b)/(cz + 4-а). (Воспользуйтесь упр. III. 18.)

32. а) Покажите, что каждая гомография ф прямой P1 (С) допускает по меньшей мере одну неподвижную точку.

b) Покажите, что если оо — неподвижная точка, то ф имеет вид 2h—> az + Ь (аФО).

c) Покажите, что в случае двух неподвижных точек а, рєС гомография ф может быть задана соотношением вида (ф (2) — ~ ?)/(<P (z) - а) = к (z - ?)/(z - а), где к є С*.
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed