Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Далее класс эквивалентности полинома R обозначаем через R, а соответствующее факторпространство — через K[X]I(P)*
b) Покажите, что класс эквивалентности суммы (соотв. произведения) двух полиномов R, S зависит только от их классов/?, «S. Выведите отсюда, что на K[X]I(P) можно определить сложение и умножение, такие, что
(V(R1S)^(K[X])2) RTS=R +S и RS = RS.
c) Покажите, что K[X]I(P), снабженное этими двумя операциями, является коммутативным кольцом.
d) Используя неприводимость P1 покажите, что K[X]I(P) является полем той же характеристики, что и К (для доказательства того, что у элемента R^O есть обратный, заметьте, что RkP взаимно просты, и примените тождество Безу2)).
e) Если К — поле конечного порядка п, покажите, что K[X]I(P) имеет порядок nd, где d = deg(P) (каждый элемент можно представить полиномом степени — 1).
f) Покажите, что полином степени 2 или 3 над К неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в К (это замечание будет использовано в приложениях).
16. Пусть К = {0, 1, а, Ь)—множество из четырех элементов.
a) Покажите, что К допускает структуру поля характеристики 2, в котором 0 есть нулевой, а 1 — единичный элементы, причем 1 + а — b, 1 + Ь = а, а2 = b, b2 = a, ab = 1.
b) Проверьте, что полином P = X2 + X + 1 неприводим над полем Z2 = Z/2Z, и покажите, что поле Z2 [X]I(P), полученное как указано в предыдущем упражнении, изоморфно полю К из а). (Это есть поле Галуа порядка 4, его обозначают F4.)
17. Проверьте, что полином Л'3 + X + 1 неприводим над полем Z2. Выведите отсюда существование поля F8 характеристики 2 и порядка 8, такого, что отображение X і—> X2 является автоморфизмом, отличным от тождественного.
18. а) Проверьте, что полиномы X2\ и X3 — X + 1 неприво-димы над полем Z3 = Z/3Z. Выведите из этого, что существуют поля характеристики 3 и порядков 9 и 27 соответственно.
1) Это построение связано с теорией Галуа.
2) Под тождеством Безу здесь понимается следующее: если R1 P взаимно просты, то существуют такие полиномы и, и, что Ru + Ru = 1 (можно считать, что deg и > UQgP9 deg и < < deg R). — Прим. перев.
УПРАЖНЕНИЯ
275
b) Постройте аналогичным путем поле характеристики 5 с 25 элементами (подыщите полином степени 2, неприводимый над полем Z5 = Z/5Z).
ГЛАВА II
1. а) Пусть G— какая-либо группа, Л, В — две ее подгруппы, такие, что G = A U В. Покажите, что G = A или G = B (предположив, что G ф В, выберите в G \В элемент а и покажите, что если b ^ В, то ab е А).
b) Пусть X1 Y— два ВПП векторного пространства Е, та^ ких, что X[JY есть ВПП в Е. Покажите, что X cz Y или У cz Хщ
c) Выведите отсюда, что E не может быть объединением двух гиперплоскостей.
2. Пусть X, Y — два конечномерных ВПП векторного простраьь ства Е.
a) Покажите, что X -f- Y и X Г) Y конечномерны и dim X -f* 4- dim У == dim(* + Y) + dim(X (] У).
b) Выведите отсюда, что если dim E = п, то dim(X(]Y) ^ ^ dim X 4- dim У — п.
3. Напомним, что два ВПП векторного пространства E называются дополнительными, если каждый элемент г є E единственным образом записывается в виде z = х + у, где х є X9 у є У. Отображение р: E-+E7 z\—>х называется проектированием на X в направлении У.
a) Покажите, что отображение р линейно, причем Ker р = Y и Im р = X, и что р ° р = р.
b) Покажите, что верно и обратное, всякий эндоморфизм E9 удовлетворяющий условию р°р = р, является проектированием,
c) Пусть s — инволютивный автоморфизм Е. Считая, что характеристика основного тела не равна 2, покажите, что р = = 1MHe — 5) является проектированием, и выведите отсюда, что существуют два таких взаимно дополнительных подпространства X, У, что s является симметрией в направлении У относительно А' (определяемой как s(x + у) = х — у для всех х є X
4. Пусть E — векторное пространство над телом характеристики 2 и f — инволютивный автоморфизм Е.
a) Покажите, что Кег(/ — Не) \m(f ~-ldE).
b) Предположив, что dim E = 2 и f ф ЫЕ, покажите, что в E существует такой базис (/,/'), что /(/) =/ и f(j) = / + /. Покажите, что верно и обратное: эндоморфизм, определенный этими условиями, инволютивен.
c) Покажите, что и вообще всякая трансвекция инволю* тивна (см. упр. 14).
5. Пусть E — конечномерное векторное пространство и X1 Y—< два его ВПП. Покажите, что любые два из следующих трех условий влекут третье: X f| У = {0}, X + У = E1 dim(X) + + dim (У) = dim(?).
276
УПРАЖНЕНИЯ
6. Пусть E — векторное пространство; определим сумму F = = ?i + ?2 + ... + Ep нескольких его ВПП как векторное пространство, порожденное объединением Ei U E2 U ... U Ер. Назовем ее прямой суммой, если сюръективное отображение
f: E1XE2X ... XEp-^F1 (*,, ...,*,)¦-»*, + ...+*,
инъективно. В этом случае будем писать F = E1 ® ... 0 Ер,
a) Пусть р = 2; покажите, что сумма Ei -J- E2 будет прямой тогда и только тогда, когда EiCiE2= {0}.
b) Пусть р ^ 3; для каждого к е {1, 2.....р} положим
p
Покажите, что ^jT ?г- — прямая сумма тогда и только тогда,
когда EkClFk = {0} для всех ?.
