Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 91

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 .. 97 >> Следующая


3. Пусть & — пространство аффинного типа (см. § 12), не сводящееся к прямой. Дилатацией пространства 8 называется любая его биекция f на себя, такая, что для любой пары (A1 В} точек <Г имеем (f(A)f(B))W(AB).

a) Покажите, что сохраняют силу результаты § V. 2.

b) Определим трансляции и гомотетии как в § V. 2; обозначим через K1 К две гомотетии с различными центрами O1 Ог и через А — точку <?Г, не лежащую на прямой (ОО'). Полагая B = W0H(A)1 покажите, что h' ° h является гомотетией ил» трансляцией в зависимости от того, пересекает ли прямая (AB} прямую (ОО') или ей параллельна.

c) Предположим, что для любой тройки (O1A1A') различных коллинеарных точек существует гомотетия h с центром O9, такая, что h(A) = А'. Покажите, что для любой пары (A1 В) точек 8 существует такая трансляция т, что г (А) = В (примените пункт Ь) для построения т как произведения двух гомотетий),

УПРАЖНЕНИЯ

d) Предположив, что & удовлетворяет аксиоме Дезарга (D), покажите, что гипотеза пункта с) верна (это легкое обобщение теоремы V. 6.3).

С помощью с) выведите отсюда, что & удовлетворяет также аксиоме (d) (см. § V. 3), и покажите, что & допускает аффинную структуру (расширьте теорию, развитую в § V. 4, V. 5 и V.7).

Замечание. В случае плоскости таким путем получается новое доказательство того, что из (D) следует (d).

4. Пусть ^ — такая плоскость аффинного типа, что каждой паре (Л, В) точек ^ можно поставить в соответствие точку т(А,В) на (AB), называемую серединой отрезка [AB], таким образом, что:

i) т(А,В) = т(B1A);

ii) т(А, А) = Л;

iii) если А', В' — образы точек Л, В при каком-либо проектировании р% (см. § V. 5), то т(А',В') является образом m(At В).

a) Покажите, что диагонали любого параллелограмма (ABCD) пересекаются в их серединах (покажите, что предположение т(А,С) ф т(В, D) ведет к тому, что прямая, соединяющая эти точки, одновременно должна быть параллельна (AB) и (AD)).

b) Покажите, что в выполняется малая аксиома Дезарга (d), и потому ^ — плоскость трансляций.

ГЛАВА VI Абсолютная геометрия

В упр. 1—9 ^ обозначает метрическую плоскость (см. § 2).

1. Пусть А, В — две различные точки ^ и А — медиатриса [AB]. Обозначим через &al &b полуплоскости, ограниченные А и соответственно содержащие A1 В. Покажите, что если Me^, то MA < MB (постройте точ^у пересечения [MB] с А и примените неравенство треугольника). Выведите отсюда, что

0>А = {M є & I MА < MB}, 0>в = {Мє=0>\МА> MB}.

2. Установите три «признака равенства треугольников» (случай равенства трех пар соответственных сторон, случай равных углов, заключенных между парами равных сторон, и случай пары равных сторон с двумя парами равных прилежащих углов).

3. Пусть г — вращение с центром О и а — симметрия относительно оси, проходящей через О. Покажите, что сг ° г ° а-1 = г-1. (Воспользуйтесь разложением г в произведение симметрии.) Получите отсюда другое доказательство коммутативности группы вращений с центром О.

УПРАЖНЕНИЯ

29&

4. Говорят, что множество X в выпукло, если любой отрезок [АВ], соединяющий две точки А, В из X, весь содержится в X.

a) Покажите, что всякий угловой сектор выпуклый.

b) Покажите, что любой круг выпуклый (открытый круг с центром О и радиусом R есть множество точек [M &!Р\ОМ <С <*}.

5. Пусть S) — множество полупрямых с началом О. Покажите что на S) можно ввести расстояние O, полагая O (Ox, Oy) «

^=XOy1). Покажите, что S), снабженное таким расстоянием изометрично единичной окружности U евклидовой плоскости-Выведите отсюда, что S) компактно и связно.

6. Связность окружности.

a) Пусть А — фиксированная точка и Ou — переменная полупрямая с началом О Ф А. Пусть a = AOu. Покажите, чта при а е [0, я/2] (см. примечание к предыдущей задаче) расстояние от А до прямой (Ou) есть возрастающая функция ф(а) угла а, стремящаяся к нулю вместе с а.

b) На каждой полупрямой Ox с началом О отметим точку І (Ох) ее пересечения с заданной окружностью Г с центром О. При фиксированной точке А = f(Ох) пусть M = f(Oy)—другая точка на Г. Полагая хОу = 2а и применяя обозначения п. а), проверьте, что d(A, M) = 2ф(а).

c) Пусть S) — множество полупрямых с началом О, снабженное метрикой из упр. 5. Покажите, что f есть непрерывное отображение S) на Г и что Г связно. Покажите также, что любая дуга окружности связна.

7. Пусть !P — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксиоме Евклида о параллельных, S) — прямая в ?Р и M е & \S).

a) Покажите, что объединение полупрямых с началом в M9 пересекающих S), является открытым угловым сектором и делится пополам перпендикуляром, проведенным через M к S); его угол раствора обозначают 2а (а называется углом параллелизма M относительно S)).

b) Покажите, что а зависит только от расстояния d от точки M до прямой S) и является убывающей функцией d (функция a(d) называется функцией Лобачевского; можно доказать (см. [ВО—SZ]), что она имеет вид а = 2 arc tg e~d^k, где к— константа; мы проверяем это на моделях Пуанкаре и Бельтрами).

8. Пусть (ABC) —треугольник в метрической плоскости 0і. Обозначим через В' (соотв. С) точку, симметричную с С (соотв. В) относительно середины [AB] (соотв. [ЛС]), и пусть S — сумма углов треугольника (ABC).
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed