Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 81

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 97 >> Следующая


7. а) Пусть G — упорядоченная абелева группа, удовлетворяющая аксиоме (ВГ) (см. определение 6.2). Покажите, что любое непустое минорируемое подмножество G имеет нижнюю грань*

b) Пусть G — подгруппа в (R, +), не сводящаяся к {0}, и пусть a = inf {g є G|g > 0}. Покажите, что если а = 0, то G всюду плотна в R (см. упр. 6).

Покажите, что если а > 0, то G есть множество aZ чисел вида па, где п є z (нужно доказать, что если х — действительное число, удовлетворяющее неравенствам pa ^ х < (р + 1) а, где р z, то x== ра).

c) Выведите отсюда классификацию архимедовых групп, удовлетворяющих аксиоме (ВГ).

8. Пусть G — подгруппа в (r, +), образованная действительными числами вида р + <7<*), где od — фиксированное иррациональное число и (р, q) е z2. Покажите, что множество элементов G счетно и не существует действительного а, такого, что G = aZ. Выведите отсюда, что G всюду плотно в R и отлично от R (воспользуйтесь предыдущим упражнением).

9. Покажите, что мультипликативная группа положительных действительных чисел архимедова 1J. Выведите отсюда, что для любого действительного а > 0 существует единственная монотонная биекция ha из R^_ на R, удовлетворяющая условиям Ha(Ci) = 1 и h(xy) = h(x) + h(y) для любых X1 j/gR*+ (тем самым будет доказано существование и единственность логарифма по основанию а).

10. Пусть К — тело (коммутативность не предполагается), снабженное отношением линейного порядка, таким, что если у ^ х, то для любого имеем у + Z ^ X + 2, и если Z > 0/с, то zy ^ zx, yz ^ XZ.

a) Покажите, что К имеет характеристику нуль.

b) Предположим, что группа (К, +) архимедова, и обозначим через h монотонный гомоморфизм (K1 +) в (r, +)> такой, что Н(\к) = 1. Покажите, что элементы К вида q~lp = (q • 1/^)-1 (р • 1/(), где (р, q) <= z X n*, составляют подтело /C0 тела /с и что h(q~lp) = p/q.

c) Покажите, что для любых х, у из К выполнено равен* ство h(xy) = h(x)h(y), и выведите отсюда, что К коммутативно (можно предположить, что к > (Эк, у > Oft, и воспользоваться оценками для х, у вида 1O- рп < х < 10" (1 + рп), 10" <7„ < у < \0~ (1 + qn)). Заключение: всякое архимедово упорядоченное тело есть поле.

УПРАЖНЕНИЯ

273

11. (Элемент наибольшего порядка в конечной коммутативной группе.) Пусть G — конечная коммутативная группа порядка п в мультипликативных обозначениях, с нейтральным элементом L

a) Покажите, что для любого а є G существует целое р ^ 1, такое, что аР = 1 и а« Ф 1 при 1 ^ q < р. Это целое р называется порядком а.

b) Если aeG — элемент порядка р, то р является делителем п (рассмотрите факторизацию G по подгруппе Ga = = {1, а, ..., ар~1}). Покажите, что соотношение aq = 1 (где </gN*) равносильно тому, что р — делитель q.

c) Пусть а,Ь — два элемента G порядков р, <7 соответственно, причем р к q взаимно просты. Покажите, что ab — элемент порядка pq (возведите соотношение апвп — 1 в степень р или q).

d) Пусть т — наименьшее общее кратное порядков элемен-

Ci1 аг

тов G и т = P11 ... рг — его разложение на простые множители. Обозначим an1 = m/pv zt1 = m/p"1. Покажите, что существует такой элемент а єо, что атхФ\ и элемент = аП{ имеет порядок р^1- Покажите также, что для любого / ^ г найдется эле-

(X •

мент b(^G порядка ptl, и с помощью с) установите, что произведение c — b\b2 ..- br имеет порядок т.

12. С помощью предыдущего упражнения покажите, что если К — конечное поле, то мультипликативная группа /С* =/(N{0} циклическая. (Указания: предположив, что К имеет порядок я, обозначим через т HOK порядков элементов К*, тогда т делит п — 1, и п—1 элементов К* являются корнями уравнения Хт — 1 =0; отсюда т = п— 1, и, значит, существует элемент а, такой, что К* = {1, а, а"-1}.)

13. Пусть К— поле характеристики р. Пользуясь формулой бинома Ньютона, покажите, что для любых (a, b) е К2 верны равенства (a + b)p = ар + Ьр и (а — Ь)р = аР — Ьр. Выведите отсюда, что отображение f\K-+K, х\—> хр есть инъективный гомоморфизм поля. Покажите, что в случае конечного поля f является автоморфизмом. Что будет в случае, когда К = Z/pZ?

14. Пусть К — конечное поле порядка п.

a) Покажите, что для любого а є К существует целое положительное q, такое, что qa — 0; выведите отсюда, что поле К имеет конечную характеристику р.

b) Покажите, что множество элементов К вида т-\к, где т <= {0, 1, р—1}, образует подполе Ко поля /С, изоморфное Z/pZ.

c) Покажите, что К допускает структуру векторного пространства над Ко и что если d — его размерность, то порядок поля равен п = pd. Далее покажите, что отображение f: K~>Kf х\—> хр линейно. (Эти результаты вместе с результатами упр. 12 показывают, что К отождествляется с «полем корней» полинома Хп — X над Z/pZ в теории Галуа.)

274

УПРАЖНЕНИЯ

15. Построение поля1). Пусть К— поле и P е K[X] — неприводимый полином над К (т. е. неразложимый в произведение двух полиномов положительной степени над тем же полем).

a) Покажите, что, полагая R^S тогда и только тогда, когда полином R — S делится на Р, мы получим на кольце полиномов K[X] отношение эквивалентности 91.
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed